Kezdőlap


Feladat:	C.683	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2003/január, 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szögfelező egyenes, Derékszögű háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/szeptember: C.683

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük az $A B C$ egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóit $a$ -val, a $B P$ szakaszt $x$ -szel, a beírt kör sugarát $ϱ$ -val. Ekkor $A B = a \sqrt[]{2}$ , $P C = a - x$ , az ismert tétel szerint a szögfelezők által lemetszett szakaszokra $\frac{x}{a - x} = \frac{a \sqrt[]{2}}{a}$ , innen

\begin{matrix} x = P B = a (2 - \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

(1)

Másrészt a háromszögbe írt kör sugara:

\begin{matrix} ϱ = \frac{T}{s}, \end{matrix}

(2)

ahol

T

a terület,

s

a kerület fele.

\begin{matrix} T = \frac{a^{2}}{2}, s = \frac{2 a + a \sqrt[]{2}}{2} = \frac{a (2 + \sqrt[]{2})}{2} . \end{matrix}

Ezeket helyettesítve (2)-be:

\begin{matrix} ϱ = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{\frac{a (2 + \sqrt[]{2})}{2}} = \frac{a}{2 + \sqrt[]{2}} = \frac{a (2 - \sqrt[]{2})}{2} . \end{matrix}

(3)

(1)-ből és (3)-ból következik, hogy

P B = 2 ϱ