Feladat:	C.679	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Apáthy Molnár Sándor ,  Árva Zoltán ,  Ásványi Katalin ,  Bartolits Ákos ,  Bereczki Péter ,  Besenyei Balázs ,  Hevér Judit ,  Horváth 686 Petra ,  Juhász Sándor ,  Krivosija Zoltán ,  Lengyel Tímea ,  Medvey Ádám ,  Mezei Márk ,  Nagy Judit ,  Nótári Péter ,  Pálinkás Csaba ,  Papp Gábor ,  Rendes Gábor ,  Sántha Katalin ,  Sipos Gábor ,  Stippinger Marcell ,  Szabó-Bálint Zoltán ,  Varga 923 Viktória ,  Vaskó Richárd
Füzet:	2003/január, 29 - 30. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: C.679

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A három adott egységsugarú gömb $O_1$, $O_2$, $O_3$ középpontja egy 2 egység oldalú szabályos háromszög három csúcsa. A háromszög $S_1$ síkja párhuzamos az $S$ síkkal, és attól 1 egység távolságra van. Jelöljük a gömböket kívülről érintő gömb sugarát $r$-rel ($r<1$), középpontját $O_4$-gyel. Mivel $O_4$ az $S$ síkban van, $S_1$-től való távolsága 1 egység. A négy középpont egy háromszög alapú szabályos gúlát határoz meg. Az $O_4$ vetületét az $S_1$ síkon jelölje $P$. Mivel az $O_1{O}_2{O}_3$ háromszög szabályos, $P$ a háromszög középpontja és egyben súlypontja is.     Az $O_{1}P{O}_4$ derékszögű háromszögben $O_{4}P=1$, $O_1{O}_4=1+r$ és $O_{1}P=\frac{2}{3}\sqrt[]{3}$. Írjuk fel a háromszögre Pitagorasz tételét: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+r\right)}^2={\left(\frac{2\sqrt[]{3}}{3}\right)}^2+\mathrm{1,}}\end{array}$ innen $r=\sqrt[]{\frac{7}{3}}-1\approx 0\mathrm{,}5275$ egység a kívülről érintő gömb sugara. Van azonban egy másik lehetőség is, amikor a keresett gömböt belülről érintik az adott gömbök, ennek sugara legyen $R$ ‐ ekkor az előbbi esethez hasonlóan: $\begin{array}{c}{\displaystyle R-1=\sqrt[]{\frac{7}{3}}\mathrm{,}\text{azaz}R=\sqrt[]{\frac{7}{3}}+1\approx 2\mathrm{,}5275\text{ egység.}}\end{array}$ () Nagy Judit (Szombathely, Keresk. és Vendéglátói Szakképző Isk., 12. évf.)   Megjegyzés. A megoldásban ,,szemléletből'' elfogadtuk, hogy a keresett gömb vagy mindhárom adott egységgömböt kívülről, vagy mindegyiket belülről érinti. Ha viszont nem bízzuk magunkat teljesen a szemléletünkre (térgeometriai feladatnál ez különösen indokolt!), akkor ezt nagyon egyszerűen be is láthatjuk. Tegyük fel, hogy a keresett gömb pl. az $O_1$ középpontú gömböt kívülről, az $O_2$ középpontút pedig belülről érinti. Ekkor (a keresett sugarat $r\text{'}$-vel jelölve) $O_4{O}_1=r\text{'}+1$, $O_4{O}_2=r\text{'}-1$, így $\begin{array}{c}{\displaystyle O_1{O}_2=2=\left(r\text{'}+1\right)-\left(r\text{'}-1\right)=O_4{O}_1-O_4{O}_2\mathrm{,}}\end{array}$ tehát az $O_1{O}_2{O}_4$ háromszög elfajuló, azaz $O_4$ az $O_1{O}_2$ egyenesen van. Ez az egyenes azonban ‐ az $S$-sel párhuzamos síkban lévén ‐ nem metszi $S$-t, aminek $O_4$ egy pontja; ez ellentmondás.