Kezdőlap


Feladat:	3526. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szilágyi Péter
Füzet:	2002/december, 564 - 566. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbkondenzátor, Felületi feszültségből származó erő, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: 3526. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kiindulási állapotban a buborékokban levő levegő nyomása egyensúlyt tart a külső légnyomással és a felületi feszültségből származó görbületi nyomással:

\begin{matrix} p_{R} = p_{0} + \frac{4 α}{R}, illetve p_{r} = p_{0} + \frac{4 α}{r}, \end{matrix}

(1)

ahol

p_{R}

és

p_{r}

R

és

r

sugarú buborékokban levő levegő nyomása,

α

pedig a szappanhártya felületi feszültsége. Ha kinyitnánk a csapot, akkor a kisebb buborék teljesen leeresztene, a nagyobb pedig megnőne, mivel

r < R

esetén

p_{r} > p_{R}

. Emiatt a kisebb buborékot kell elektromosan feltöltenünk, ha azt akarjuk, hogy a benne levő gáznyomás a másik buborékéval megegyező legyen.
Számítsuk ki először azt, hogy mekkorára kell növelnünk a kis buborék sugarát ahhoz, hogy a belsejében

p_{R}

nyomás legyen! A Boyle‐Mariotte-törvény alapján

\begin{matrix} p_{r} \cdot \frac{4}{3} r^{3} π = p_{R} \cdot \frac{4}{3} x^{3} π, \end{matrix}

ahonnan a kérdéses sugár

\begin{matrix} x = \sqrt[3]{\frac{p_{r}}{p_{R}}} \cdot r = \sqrt[3]{\frac{p_{0} + \frac{4 α}{r}}{p_{0} + \frac{4 α}{R}}} \cdot r . \end{matrix}

(2)

Ezután meghatározzuk, hogy mekkora

Q

töltés hatására lesz a

r

sugarú buborék megváltozott sugara

x

. Az egynemű elektromos töltések taszítják egymást, mintegy fel akarják fújni a buborékot. Ezt a hatást úgy írhatjuk le, hogy kiszámítjuk a buborék falának egységnyi felületére ható elektromos erőt, a

p_{Q}

-val jelölt ,,elektromos nyomást'', majd felírjuk a nyomások egyensúlyát kifejező

\begin{matrix} p_{R} - p_{0} = \frac{4 α}{R} - p_{Q} \end{matrix}

(3)

egyenletet.
Tekintsük az

x

sugarú,

Q

töltésű gömböt, amelynek ‐ mint gömbkondenzátornak ‐ a kapacitása

\begin{matrix} C = 4 π ε_{0} \cdot x = \frac{x}{k}, \end{matrix}

elektrosztatikus energiája pedig

\begin{matrix} W (x) = \frac{1}{2} \frac{Q^{2}}{C} = \frac{k}{2} \frac{Q^{2}}{x} . \end{matrix}

Nyomjuk össze gondolatban a töltéseket egy kicsiny

Δ x

távolsággal, vagyis alakítsunk ki egy

x - Δ x

sugarú, de ugyancsak

Q

össztöltésű gömbkondenzátort! Az összenyomás során

\begin{matrix} Δ W = p_{Q} \cdot 4 π x^{2} \cdot Δ x \end{matrix}

munkát kell végeznünk, és ez a munka teljes egészében a töltések potenciális energiáját (az elektrosztatikus energiát) növeli. Ez utóbbi a gömbkondenzátor energiaváltozásából számítható:

\begin{matrix} Δ W = W (x - Δ x) - W (x) = \frac{k Q^{2}}{2} (\frac{1}{x - Δ x} - \frac{1}{x}) \approx \frac{k Q^{2}}{2 x^{2}} Δ x . \end{matrix}

Δ W

kétféle kifejezésének összevetéséből

\begin{matrix} p_{Q} = \frac{k Q^{2}}{8 π x^{4}}, \end{matrix}

a (3) egyensúlyi feltételre pedig

\begin{matrix} p_{R} - p_{0} = \frac{4 α}{R} - \frac{k Q^{2}}{8 π x^{4}} \end{matrix}

adódik. Innen (1) felhasználásával

\begin{matrix} Q^{2} = \frac{32 π α}{k (x^{3} - \frac{x^{4}}{R})}, \end{matrix}

majd (2) behelyettesítésével

\begin{matrix} Q = \pm \sqrt[]{\frac{32 π α}{k} \cdot r^{3} \cdot \frac{p_{0} + \frac{4 α}{r}}{p_{0} + \frac{4 α}{R}} \cdot (1 - \frac{r}{R} \sqrt[3]{\frac{p_{0} + \frac{4 α}{r}}{p_{0} + \frac{4 α}{R}}})} \end{matrix}

adódik. (A töltés előjele akár pozitív, akár negatív lehet, mindkét esetben az elektromos tér növelni igyekszik a buborék méretét.)

Szilágyi Péter (Debreceni Egyetem Kossuth L. Gyak. Gimn. 10. o.t.)

Megjegyzések: 1. Mivel reális méretű buborékoknál

p_{0} ≫ \frac{4 α}{r}

, jó közelítéssel fennáll

\begin{matrix} Q \approx \sqrt[]{\frac{32 π α}{k} \cdot r^{3} \cdot (1 - \frac{r}{R})} . \end{matrix}

2. Sokan úgy számoltak, mintha az elektromosan töltött gömb kicsiny felületdarabkáira ható erő az ottani töltés és a térerősség szorzata lenne, ‐ holott az erő ténylegesen ennek csak a fele.