Feladat: 3526. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szilágyi Péter 
Füzet: 2002/december, 564 - 566. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gömbkondenzátor, Felületi feszültségből származó erő, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: 3526. fizika feladat

Mindkét végén derék- szögben meghajlított, vékony, elektromosan szigetelő cső végein r, illetve R sugarú szappanbuborék van. Mekkora elektromos töltést adjunk az egyik buboréknak, hogy a másik buborék mérete a cső közepén levő csap kinyitása után ne változzék meg? (Az elektromos megosztástól tekintsünk el!)
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kiindulási állapotban a buborékokban levő levegő nyomása egyensúlyt tart a külső légnyomással és a felületi feszültségből származó görbületi nyomással:

pR=p0+4αR,illetvepr=p0+4αr,(1)
ahol pR és pr az R és r sugarú buborékokban levő levegő nyomása, α pedig a szappanhártya felületi feszültsége. Ha kinyitnánk a csapot, akkor a kisebb buborék teljesen leeresztene, a nagyobb pedig megnőne, mivel r<R esetén pr>pR. Emiatt a kisebb buborékot kell elektromosan feltöltenünk, ha azt akarjuk, hogy a benne levő gáznyomás a másik buborékéval megegyező legyen.
Számítsuk ki először azt, hogy mekkorára kell növelnünk a kis buborék sugarát ahhoz, hogy a belsejében pR nyomás legyen! A Boyle‐Mariotte-törvény alapján
pr43r3π=pR43x3π,
ahonnan a kérdéses sugár
x=prpR3r=p0+4αrp0+4αR3r.(2)
Ezután meghatározzuk, hogy mekkora Q töltés hatására lesz a r sugarú buborék megváltozott sugara x. Az egynemű elektromos töltések taszítják egymást, mintegy fel akarják fújni a buborékot. Ezt a hatást úgy írhatjuk le, hogy kiszámítjuk a buborék falának egységnyi felületére ható elektromos erőt, a pQ-val jelölt ,,elektromos nyomást'', majd felírjuk a nyomások egyensúlyát kifejező
pR-p0=4αR-pQ(3)
egyenletet.
Tekintsük az x sugarú, Q töltésű gömböt, amelynek ‐ mint gömbkondenzátornak ‐ a kapacitása
C=4πε0x=xk,
elektrosztatikus energiája pedig
W(x)=12Q2C=k2Q2x.

Nyomjuk össze gondolatban a töltéseket egy kicsiny Δx távolsággal, vagyis alakítsunk ki egy x-Δx sugarú, de ugyancsak Q össztöltésű gömbkondenzátort! Az összenyomás során
ΔW=pQ4πx2Δx
munkát kell végeznünk, és ez a munka teljes egészében a töltések potenciális energiáját (az elektrosztatikus energiát) növeli. Ez utóbbi a gömbkondenzátor energiaváltozásából számítható:
ΔW=W(x-Δx)-W(x)=kQ22(1x-Δx-1x)kQ22x2Δx.
ΔW kétféle kifejezésének összevetéséből
pQ=kQ28πx4,
a (3) egyensúlyi feltételre pedig
pR-p0=4αR-kQ28πx4
adódik. Innen (1) felhasználásával
Q2=32παk(x3-x4R),
majd (2) behelyettesítésével
Q=±32παkr3p0+4αrp0+4αR(1-rRp0+4αrp0+4αR3)
adódik. (A töltés előjele akár pozitív, akár negatív lehet, mindkét esetben az elektromos tér növelni igyekszik a buborék méretét.)
Szilágyi Péter (Debreceni Egyetem Kossuth L. Gyak. Gimn. 10. o.t.)

 

Megjegyzések: 1. Mivel reális méretű buborékoknál p04αr, jó közelítéssel fennáll
Q32παkr3(1-rR).

2. Sokan úgy számoltak, mintha az elektromosan töltött gömb kicsiny felületdarabkáira ható erő az ottani töltés és a térerősség szorzata lenne, ‐ holott az erő ténylegesen ennek csak a fele.