Feladat: 3505. fizika feladat Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Siroki László 
Füzet: 2002/december, 560 - 561. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kondenzátorok, Egyéb elektromos mező, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: 3505. fizika feladat

A síkkondenzátor széleinél inhomogén elektromos mező alakul ki, de ezt általában el szoktuk hanyagolni. Nagyobb vagy kisebb értéket kapnánk a kapacitás nagyságára, ha ezt a tényt is figyelembe vennénk?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A síkkondenzátor kapacitását megadó közelítő összefüggés levezetésénél azt feltételezzük, hogy az elektromos térerősség a kondenzátor belsejében állandó, kívül zérus (elhanyagoljuk a szórt teret), és az erővonalak merőlegesek a fegyverzetekre. Ez jó közelítés abban az esetben, ha a fegyverzetek távolsága sokkal kisebb, mint a lineáris méretük.
Az elektromos térerősség nagyságát pl. úgy számíthatjuk ki, hogy a Gauss-tételt egy olyan téglatestre alkalmazzuk, amely körülveszi az egyik kondenzátorlapot és két lapja párhuzamos vele. A tétel szerint

EF=Q/ε0,
ahol F a lap területe, Q a rajta lévő töltés. A lapok közötti feszültség U=Ed, ahol d a lapok távolsága. A kapacitás, C=Q/U=ε0F/d.
Úgy is megkaphatjuk a fenti eredményt, hogy felhasználjuk a térerősség felületre merőleges összetevőjére vonatkozó határfeltételt, amely szerint két közeg határán ezen összetevők különbsége η/ε0, ahol η=Q/F a felületi töltéssűrűség. Fém belsejében (sztatikában) a térerősség zérus, így
E=Q/(Fε0).

Legyen Q adott, és becsüljük meg ‐ a közelítést nem használva ‐ a tényleges feszültséget! A töltések nem oszlanak el egyenletesen, a közöttük fellépő taszítóerő hatására a töltéssűrűség a lapok szélein nagyobb, középen kisebb lesz az átlagosnál. Téglalap vagy kör alakú fegyverzeteket feltételezve a kondenzátor tengelyében a térerősség ‐ a szimmetria miatt ‐ biztosan merőleges a fegyverzetekre, nagysága a kisebb töltéssűrűség miatt kisebb, mint Q/(Fε0). A szimmetriatengely mentén a lemezektől a kondenzátor közepe felé haladva az erővonalak biztosan nem lesznek sűrűbbek, mint a lemezeknél voltak (éppen ellenkezőleg: ritkulnak), ezért a térerősség nagysága a szimmetriatengely egyik pontjában sem éri el a Q/(Fε0) értéket. Így a lemezek közötti feszültség ‐ amely bármilyen útvonal mentén, tehát pl. a tengely mentén is számítható ‐ biztosan kisebb, mint Qd/(Fε0), a kapacitás tehát nagyobb, mint Fε0/d.
Okoskodhatunk úgy is, hogy a kondenzátor belsejében jó közelítéssel homogén az elektromos térerősség, de a Gauss-tételben a kondenzátoron kívüli térerősség is ad járulékot, tehát E kisebb, U kisebb, C nagyobb a valóságban, mint a közelítő számításban.
Siroki László (Debrecen, Fazakas M. Gimn. 12. o.t.)

 

Megjegyzés. A pontos számítás eredménye függ a fegyverzetek alakjától. Körlapok esetén egy d/R-től függő szorzótényezővel javítható a közelítő eredmény. (d/R=0,2 esetén a szorzótényező 1,286; d/R=0,01 esetén pedig 1,023.) Téglalapok esetében a számítás sokkal bonyolultabb. Jó közelítést kapunk, ha az F terület helyébe azt a megnövelt területet írjuk, amelyet úgy kapunk, hogy a lemezeket a köztük lévő távolság 3/8 részével minden irányban megnyújtjuk (R. Feynman: Mai fizika, 5. kötet).
(G. L.)