Kezdőlap


Feladat:	B.3557	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Árva Zoltán , Backhausz Ágnes , Balogh János , Baráth Géza , Bartha Ferenc , Besenyei Balázs , Bóka Gergely , Dénes Ferenc , Egri Attila , Erdélyi Márton , Fehér Gábor , Gyarmati Ákos , Horváth Márton , Hubai Tamás , Jesch Dávid , Komjáthy Júlia , Matyuska Ferenc , Metzing András , Nagy Szabolcs , Pach Péter Pál , Pallos Péter , Pataki Zsombor , Paulin Dániel , Pongrácz András , Poronyi Balázs , Rácz Béla András , Rácz Judit , Révész Dániel , Salát Máté , Sándor Ágnes , Sándor Nóra Katalin , Sásdy Gabriella , Simon Balázs , Siroki László , Szalai Attila , Tábor Áron , Tóth Anett , Zsbán Ambrus
Füzet:	2002/december, 549. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Természetes számok, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: B.3557

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a válasz igen, létezik olyan köbszám, amely 2002 db egyessel kezdődik. Legyen ${\underset{︸}{111 ... 1}}_{2002 db}^{} = a$ . Ennek a jelölésnek a segítségével az állításunk így is megfogalmazható: van olyan $k$ pozitív egész kitevő, amelynél van köbszám $a \cdot 10^{k}$ és $(a + 1) \cdot 10^{k}$ között, vagyis amelynél van egész szám $\sqrt[3]{a \cdot 10^{k}}$ és $\sqrt[3]{(a + 1) \cdot 10^{k}}$ között.
Ha e két szám különbsége legalább 1, akkor biztosan van kettőjük között egész szám. Nézzük tehát a különbséget:

\begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt[3]{(a + 1) \cdot 10^{k}} - \sqrt[3]{a \cdot 10^{k}} & = \sqrt[3]{(a + 1)} \cdot \sqrt[3]{10^{k}} - \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{10^{k}} = \\ = (\sqrt[3]{(a + 1)} - \sqrt[3]{a}) \cdot \sqrt[3]{10^{k}} . \end{matrix} \end{matrix}

A zárójelben álló kifejezés pozitív, a

\sqrt[3]{10^{k}}

értéke pedig tetszőlegesen nagy lehet, így elég nagy

k

esetén

\frac{1}{\sqrt[3]{(a + 1)} - \sqrt[3]{a}}

-nál is nagyobb lesz. Az ilyen

k

számok esetén a szorzattá átalakított különbség nagyobb, mint 1. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

Metzing András (Pécs, Leöwey Klára Gimn.) megoldása alapján

Megjegyzés. A megoldás során sehol nem használtuk ki az

a

szám eredeti értékét, vagyis az állítás általánosabban is igaz: akárhogy adunk is meg egy pozitív egész számot, mindig találunk hozzá olyan köbszámot, amelynek a tízes számrendszerbeli alakja a megadott számmal kezdődik. Jól nyomonkövethető, hogy a harmadik hatvány specialitását sem használtuk ki, azaz köbszám helyett mondhatnánk az állításunkban akármilyen teljes hatványt. Végül a megoldásból az is látszik, hogy végtelen sok (köb)szám létezik a kívánt tulajdonsággal.