Feladat: B.3557 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árva Zoltán ,  Backhausz Ágnes ,  Balogh János ,  Baráth Géza ,  Bartha Ferenc ,  Besenyei Balázs ,  Bóka Gergely ,  Dénes Ferenc ,  Egri Attila ,  Erdélyi Márton ,  Fehér Gábor ,  Gyarmati Ákos ,  Horváth Márton ,  Hubai Tamás ,  Jesch Dávid ,  Komjáthy Júlia ,  Matyuska Ferenc ,  Metzing András ,  Nagy Szabolcs ,  Pach Péter Pál ,  Pallos Péter ,  Pataki Zsombor ,  Paulin Dániel ,  Pongrácz András ,  Poronyi Balázs ,  Rácz Béla András ,  Rácz Judit ,  Révész Dániel ,  Salát Máté ,  Sándor Ágnes ,  Sándor Nóra Katalin ,  Sásdy Gabriella ,  Simon Balázs ,  Siroki László ,  Szalai Attila ,  Tábor Áron ,  Tóth Anett ,  Zsbán Ambrus 
Füzet: 2002/december, 549. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Természetes számok, Algebrai átalakítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: B.3557

Kezdődhet-e egy köbszám tízes számrendszerbeli alakja 2002 darab egyessel?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a válasz igen, létezik olyan köbszám, amely 2002 db egyessel kezdődik. Legyen 111...12002db=a. Ennek a jelölésnek a segítségével az állításunk így is megfogalmazható: van olyan k pozitív egész kitevő, amelynél van köbszám a10k és (a+1)10k között, vagyis amelynél van egész szám a10k3 és (a+1)10k3 között.
Ha e két szám különbsége legalább 1, akkor biztosan van kettőjük között egész szám. Nézzük tehát a különbséget:

(a+1)10k3-a10k3=(a+1)310k3-a310k3==((a+1)3-a3)10k3.
A zárójelben álló kifejezés pozitív, a 10k3 értéke pedig tetszőlegesen nagy lehet, így elég nagy k esetén 1(a+1)3-a3-nál is nagyobb lesz. Az ilyen k számok esetén a szorzattá átalakított különbség nagyobb, mint 1. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.
Metzing András (Pécs, Leöwey Klára Gimn.) megoldása alapján

 
Megjegyzés. A megoldás során sehol nem használtuk ki az a szám eredeti értékét, vagyis az állítás általánosabban is igaz: akárhogy adunk is meg egy pozitív egész számot, mindig találunk hozzá olyan köbszámot, amelynek a tízes számrendszerbeli alakja a megadott számmal kezdődik. Jól nyomonkövethető, hogy a harmadik hatvány specialitását sem használtuk ki, azaz köbszám helyett mondhatnánk az állításunkban akármilyen teljes hatványt. Végül a megoldásból az is látszik, hogy végtelen sok (köb)szám létezik a kívánt tulajdonsággal.