A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nevezzük az egymás fölött lévő mezők együttesét oszlopnak. Legyen a bogár induláskor a 0. oszlopban. Tőle jobbra legyenek a tőle balra pedig a oszlopok. Megmutatjuk, hogy a csodabogár pontosan azokra a mezőkre tud eljutni, amelyek páros sorszámú oszlopban vannak. Mivel a bogár jobbra kettőt, balra pedig négyet, azaz vízszintes irányban csak páros számú mezőt tud lépni, azért páratlan sorszámú oszlopba nem juthat el.
Állításunk bizonyításához most már elegendő azt megmutatnunk, hogy a csodabogár az i-edik oszlopból el tud jutni az (i+2)-edik és az (i-2)-edik oszlopba is, valamint egy mezőről el tud jutni a közvetlenül alatta, illetve fölötte lévő mezőkre. Az i-edikből az (i+2)-edik oszlopba egy jobbra lépéssel, az i-edikből az (i-2)-edikbe pedig a jobbra, fel, balra lépéssorozattal juthat el (ha elsőre nem léphet jobbra, akkor egy felfelé irányú lépéssel kezdi a sorozatot). A kiindulási mezője alatti mezőre pl. a jobbra, le, jobbra, le, balra, fel, jobbra, fel, jobbra, fel, balra (1. ábra) lépésekkel, a fölötte lévőre pedig a jobbra, fel, balra, le, jobbra, fel (2. ábra) sorozattal tud eljutni (ha elsőre nem léphet jobbra, akkor a második sorozat lépéseit páronként felcserélheti (3. ábra), az első sorozat helyett pedig először lefelé lép, majd négyszer egymás után alkalmazza a második sorozatot). Ezzel beláttuk, hogy a páros sorszámú oszlopok tetszőleges mezőjére eljuthat a csodabogár.
Birkner Tamás (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a papírlap minden irányban végtelen. Jóval nehezebb a kérdés megválaszolása, ha a csodabogár egy korlátos papírlapon (pl. egy téglalap belsejében) sétál. |