Feladat: B.3532 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Birkner Tamás 
Füzet: 2002/december, 538 - 539. oldal  PDF file
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Szöveges feladatok, Mátrixjátékok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/március: B.3532

Egy csodabogár a négyzethálós papírlapon sétál. Egy lépéssel jobbra mindig két mezőt, balra négyet, felfelé hármat, lefelé pedig ötöt tud lépni. Sétája során minden egyes lépés után pontosan 90-kal fordul el. Melyek azok a mezők, ahova a bogár sétája során eljut?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük az egymás fölött lévő mezők együttesét oszlopnak. Legyen a bogár induláskor a 0. oszlopban. Tőle jobbra legyenek a +1.,+2.,..., tőle balra pedig a -1.,-2.,... oszlopok. Megmutatjuk, hogy a csodabogár pontosan azokra a mezőkre tud eljutni, amelyek páros sorszámú oszlopban vannak.
Mivel a bogár jobbra kettőt, balra pedig négyet, azaz vízszintes irányban csak páros számú mezőt tud lépni, azért páratlan sorszámú oszlopba nem juthat el.

 
 

1. ábra 2. ábra 3. ábra
 

Állításunk bizonyításához most már elegendő azt megmutatnunk, hogy a csodabogár az i-edik oszlopból el tud jutni az (i+2)-edik és az (i-2)-edik oszlopba is, valamint egy mezőről el tud jutni a közvetlenül alatta, illetve fölötte lévő mezőkre. Az i-edikből az (i+2)-edik oszlopba egy jobbra lépéssel, az i-edikből az (i-2)-edikbe pedig a jobbra, fel, balra lépéssorozattal juthat el (ha elsőre nem léphet jobbra, akkor egy felfelé irányú lépéssel kezdi a sorozatot). A kiindulási mezője alatti mezőre pl. a jobbra, le, jobbra, le, balra, fel, jobbra, fel, jobbra, fel, balra (1. ábra) lépésekkel, a fölötte lévőre pedig a jobbra, fel, balra, le, jobbra, fel (2. ábra) sorozattal tud eljutni (ha elsőre nem léphet jobbra, akkor a második sorozat lépéseit páronként felcserélheti (3. ábra), az első sorozat helyett pedig először lefelé lép, majd négyszer egymás után alkalmazza a második sorozatot). Ezzel beláttuk, hogy a páros sorszámú oszlopok tetszőleges mezőjére eljuthat a csodabogár.
Birkner Tamás (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a papírlap minden irányban végtelen. Jóval nehezebb a kérdés megválaszolása, ha a csodabogár egy korlátos papírlapon (pl. egy téglalap belsejében) sétál.