Feladat: B.3527 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Tábor Áron 
Füzet: 2002/december, 535 - 537. oldal  PDF file
Témakör(ök): Négyszögek szerkesztése, Trapézok, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: B.3527

Adott egy trapéz, melynek a szárai nem párhuzamosak. Szerkesszünk csak vonalzóval olyan egyenest, amelynek a trapéz szárai közé eső szakaszát a trapéz átlói harmadolják.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott trapéz szárai AD és BC. Hosszabbítsuk meg a trapéz szárait, ezek metszéspontja legyen P, rajzoljuk meg a trapéz átlóit, ezek metszéspontja legyen Q. Rajzoljuk meg a PQ egyenest, messe ez a trapéz AB alapját az S, CD alapját pedig a T pontban. Kössük össze C-t és D-t S-sel, messék ezek az egyenesek az AC átlót az M, a BD átlót pedig az N pontban (lásd az 1. ábrát). Végül kössük össze M-et és N-et, és jelöljük MN és a szárak metszéspontjait K-val és L-lel.  
Megmutatjuk, hogy az ily módon csak vonalzóval szerkesztett KL egyenes megfelel a feltételeknek, azaz KM=MN=NL. Ismert (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet, 1246. feladat), hogy S felezi AB-t, T pedig felezi CD-t. Az AMS háromszög hasonló a DMC háromszöghöz, az SNB háromszög pedig a DNC háromszöghöz, mert megfelelő szögeik páronként egyenlőek. A hasonlóságok aránya

ASDC,illetveSBDC.
E két arány AS=SB miatt egyenlő. Ezért az M és az N pontok AB, illetve DC egyenestől mért távolságának aránya is egyenlő, tehát MN párhuzamos a trapéz alapjaival. A BAD háromszögben DS súlyvonal, ezért felezi a BA-val párhuzamos NK szakaszt is, tehát KM=MN. Ugyanígy kapjuk az ABC háromszögből, hogy MN=NL, vagyis KL valóban megfelelő egyenes.
Tábor Áron (Budapest, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozatának felhasználásával

 
 

2. ábra
 

 

3. ábra
 

Megjegyzés. A ,,Szerkesszünk csak vonalzóval/körzővel...'' típusú feladatokban egy eljárást kell megadnunk, nem pedig az összes lehetséges megoldást. Egy trapéz esetében általában végtelen sok olyan egyenes van, melyeknek a trapéz szárai közé eső szakaszát az átlók harmadolják. Ezen egyenesek közül kettő párhuzamos a trapéz alapjaival (a másikat úgy kapjuk, hogy S és T szerepét felcseréljük, ez a K'L' egyenes látható a 2. ábrán). Könnyen ellenőrizhető, hogy a 3. ábrán a koordinátarendszerben elhelyezett ABCD derékszögű trapéz átlói minden 13<a<23 érték esetén harmadolják a K(0,3a-1) és az L(3a,2-3a) pontok összekötő szakaszát.