Kezdőlap


Feladat:	C.678	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/december, 533 - 534. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/május: C.678

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C$ háromszög derékszögű és fele egy 2 egység oldalú szabályos háromszögnek, ezért $A B = 2$ és $C B = \sqrt[]{3}$ . Az $A C D$ és $A B C$ háromszögek hasonlóságából következik, hogy $C D = \frac{\sqrt[]{3}}{2}$ (a hasonlóság aránya $1 : 2$ ), továbbá $A D = \frac{1}{2}$ és $B D = \frac{3}{2}$ .

A háromszögbe írt kör

ϱ

sugara az ismert összefüggés szerint

ϱ = \frac{T}{s}

, ahol

T

a terület,

s

a háromszög félkerülete.
Eszerint a kisebbik kör sugara:

\begin{matrix} ϱ_{1} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt[]{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{3 + \sqrt[]{3}} = \frac{\sqrt[]{3} - 1}{4} . \end{matrix}

A nagyobbik kör sugara:

\begin{matrix} ϱ_{2} = \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}}{\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt[]{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{1 + \sqrt[]{3}} = \frac{3 - \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

Jelöljük a beírt körök középpontját

O_{1}

-gyel, illetve

O_{2}

-vel, vetületük az

A C

oldalon legyen

T_{1}

, illetve

T_{2}

T_{1} O_{1} O_{2} T_{2}

derékszögű trapézban húzzunk az

O_{1}

ponton keresztül párhuzamost

T_{1} T_{2}

-vel. Az így kapott

O_{1} O_{2} P

derékszögű háromszögben

O_{1} P = ϱ_{1} + ϱ_{2}

O_{2} P = ϱ_{2} - ϱ_{1}

.
A keresett

O_{1} O_{2}

távolság a Pitagorasz-tételből:

\begin{matrix} \begin{matrix} O_{1} O_{2} & = \sqrt[]{{(ϱ_{1} + ϱ_{2})}^{2} + {(ϱ_{2} - ϱ_{1})}^{2}} = \sqrt[]{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{2 - \sqrt[]{3}}{2})}^{2}} = \\ = \sqrt[]{\frac{8 - 4 \sqrt[]{3}}{4}} = \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}} \approx 0, 5177 egység. \end{matrix} \end{matrix}