Feladat: C.678 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 533 - 534. oldal  PDF file
Témakör(ök): Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/május: C.678

Az ABC háromszögben AC=1, ABC=30, BAC=60, a C-ből induló magasság talppontja D. Milyen messze van egymástól az ACD és a BCD háromszögek beírt körének a középpontja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ABC háromszög derékszögű és fele egy 2 egység oldalú szabályos háromszögnek, ezért AB=2 és CB=3. Az ACD és ABC háromszögek hasonlóságából következik, hogy CD=32 (a hasonlóság aránya 1:2), továbbá AD=12 és BD=32.

 
 

A háromszögbe írt kör ϱ sugara az ismert összefüggés szerint ϱ=Ts, ahol T a terület, s a háromszög félkerülete.
Eszerint a kisebbik kör sugara:
ϱ1=123232+32=1233+3=3-14.
A nagyobbik kör sugara:
ϱ2=323232+332=1231+3=3-34.
Jelöljük a beírt körök középpontját O1-gyel, illetve O2-vel, vetületük az AC oldalon legyen T1, illetve T2.
 
 

A T1O1O2T2 derékszögű trapézban húzzunk az O1 ponton keresztül párhuzamost T1T2-vel. Az így kapott O1O2P derékszögű háromszögben O1P=ϱ1+ϱ2, O2P=ϱ2-ϱ1.
A keresett O1O2 távolság a Pitagorasz-tételből:
O1O2=(ϱ1+ϱ2)2+(ϱ2-ϱ1)2=(12)2+(2-32)2==8-434=2-30,5177 egység.