Kezdőlap


Feladat:	C.672	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/december, 530. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Térbeli ponthalmazok távolsága, Szinusztétel alkalmazása a térben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: C.672

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ csúcsból induló élek végpontjait jelöljük $B$ -vel, $C$ -vel és $D$ -vel. Az $A$ pont távolsága a $B C D$ síktól legyen $d$ . A Pitagorasz-tétel alkalmazásával meghatározhatjuk a $B C$ , $D C$ és $B D$ szakaszok hosszát: $B C = \sqrt[]{5}$ , $D C = \sqrt[]{13}$ , $B D = \sqrt[]{10}$ . Írjuk fel az $A B C D$ tetraéder térfogatát kétféleképpen. Először az $A C D$ háromszög legyen az alap, ekkor a magasság, $A B = 1$ és $V = \frac{3 \cdot 1}{3} = 1$ térfogategység.

Másodszor a

B C D

háromszög legyen az alap, a területét jelölje

T

. Ekkor a magasság éppen a keresett távolság, és

V = \frac{T \cdot d}{3}

. A két térfogat egyenlőségéből:

\begin{matrix} d = \frac{3}{T} . \end{matrix}

(1)

Számítsuk ki a

B C D

háromszög területét az ismert területképlet segítségével:

\begin{matrix} T = \frac{d \cdot c \cdot sin β}{2} \end{matrix}

(2)

Ehhez először

sin β

értékét kell meghatározni.
Írjuk fel a

B C D

háromszögben a koszinusz-tételt:

\begin{matrix} 13 = 5 + 10 - 2 \cdot \sqrt[]{5} \cdot \sqrt[]{10} \cdot cos β, \end{matrix}

innen

cos β = \frac{1}{\sqrt[]{50}}

. Így

β < 90^{\circ}

sin β > 0

és a négyzetes összefüggésből

\begin{matrix} sin β = \sqrt[]{1 - cos^{2} β} = \sqrt[]{1 - \frac{1}{50}} = \sqrt[]{\frac{49}{50}} . \end{matrix}

Ezt a területképletbe helyettesítve

\begin{matrix} T = \frac{\sqrt[]{5} \cdot \sqrt[]{10} \cdot \sqrt[]{\frac{49}{50}}}{2} = \frac{7}{2} . \end{matrix}

Ezt (1)-be helyettesítve, kapjuk, hogy a keresett távolság

d = \frac{3}{\frac{7}{2}} = \frac{6}{7}

egység.