Feladat: C.672 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 530. oldal  PDF file
Témakör(ök): Téglatest, Térbeli ponthalmazok távolsága, Szinusztétel alkalmazása a térben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: C.672

Egy téglatest A csúcsából kiinduló éleinek hossza 1, 2, 3 egység. Ezen élek A-tól különböző végpontjai egy háromszöget határoznak meg. Milyen messze van az A pont a háromszög síkjától?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A csúcsból induló élek végpontjait jelöljük B-vel, C-vel és D-vel. Az A pont távolsága a BCD síktól legyen d. A Pitagorasz-tétel alkalmazásával meghatározhatjuk a BC, DC és BD szakaszok hosszát: BC=5, DC=13, BD=10. Írjuk fel az ABCD tetraéder térfogatát kétféleképpen. Először az ACD háromszög legyen az alap, ekkor a magasság, AB=1 és V=313=1 térfogategység.

 
 

Másodszor a BCD háromszög legyen az alap, a területét jelölje T. Ekkor a magasság éppen a keresett távolság, és V=Td3. A két térfogat egyenlőségéből:
d=3T.(1)
Számítsuk ki a BCD háromszög területét az ismert területképlet segítségével:
T=dcsinβ2(2)
Ehhez először sinβ értékét kell meghatározni.
Írjuk fel a BCD háromszögben a koszinusz-tételt:
13=5+10-2510cosβ,
innen cosβ=150. Így β<90, sinβ>0 és a négyzetes összefüggésből
 
 

sinβ=1-cos2β=1-150=4950.
Ezt a területképletbe helyettesítve
T=51049502=72.
Ezt (1)-be helyettesítve, kapjuk, hogy a keresett távolság d=372=67 egység.