Kezdőlap


Feladat:	C.671	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Turi Adrienn
Füzet:	2002/december, 528 - 529. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kör geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Körérintők, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/április: C.671

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két befőttesüveget a sugarakra adott feltétel miatt csak úgy helyezhetjük el a lábasban, ha annak átmérőjén érintik egymást. A harmadik üveg sugara akkor a legnagyobb, ha úgy helyezzük el, hogy érintse a lábas oldalát és az előző két befőttesüveget is. Az edények helyett ezentúl csak az alapkörükről fogunk beszélni.

A 36 cm átmérőjű kör középpontját jelölje

O

, a 12 cm sugarú kör középpontját

O_{1}

, a 6 cm sugarú kör középpontját

O_{2}

, a keresett kör középpontját

O_{3}

, sugarát

r

. Az

O_{1}

O_{2}

középpontú körök az

E

pontban érintik egymást, és

O_{3}

-ból az

O_{1} O_{2}

egyenesre állított merőleges talppontja

T

. Legyen

O_{3} T = m

és

E T = a

.
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a

T O_{3} O_{2}

O_{1} O_{3} T

és az

O O_{3} T

háromszögek oldalaira:

\begin{matrix} m^{2} + {(6 - a)}^{2} & = & {(6 + r)}^{2}, & (1) \\ m^{2} + {(12 + a)}^{2} & = & {(12 + r)}^{2}, & (2) \\ m^{2} + {(6 + a)}^{2} & = & {(18 - r)}^{2} & (3) \end{matrix}

Az (1) és (2) egyenlet különbségéből:

\begin{matrix} m^{2} + 36 - 12 a + a^{2} & = & 36 + 12 r + r^{2}, \\ m^{2} + 144 + 24 a + a^{2} & = & 144 + 24 r + r^{2}, \\ - 36 a & = & - 12 r, \\ 3 a & = & r . & (4) \end{matrix}

A (2) és (3) egyenlet különbségéből hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} a = 5 r - 24. \end{matrix}

(5)

(4)-ből és (5)-ből

\begin{matrix} \frac{r}{3} = 5 r - 24, \end{matrix}

tehát

r = \frac{36}{7} \approx 5, 14

cm.
Ez azt jelenti, hogy egy nagyjából 10 cm átmérőjű befőttesüveg helyezhető még el a lábosban.

Turi Adrienn (Budaörs, Illyés Gy. Hatévf. Középisk., 9. évf.)