Feladat: C.671 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Turi Adrienn 
Füzet: 2002/december, 528 - 529. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kör geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Körérintők, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/április: C.671

Egy 36 cm átmérőjű lábosba beleállítottunk egy 6 cm és egy 12 cm sugarú befőttesüveget. Legfeljebb mekkora sugarú befőttesüveg állítható be a többi mellé a lábosba?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két befőttesüveget a sugarakra adott feltétel miatt csak úgy helyezhetjük el a lábasban, ha annak átmérőjén érintik egymást. A harmadik üveg sugara akkor a legnagyobb, ha úgy helyezzük el, hogy érintse a lábas oldalát és az előző két befőttesüveget is. Az edények helyett ezentúl csak az alapkörükről fogunk beszélni.

 
 

A 36 cm átmérőjű kör középpontját jelölje O, a 12 cm sugarú kör középpontját O1, a 6 cm sugarú kör középpontját O2, a keresett kör középpontját O3, sugarát r. Az O1, O2 középpontú körök az E pontban érintik egymást, és O3-ból az O1O2 egyenesre állított merőleges talppontja T. Legyen O3T=m és ET=a.
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a TO3O2, O1O3T és az OO3T háromszögek oldalaira:
m2+(6-a)2=(6+r)2,(1)m2+(12+a)2=(12+r)2,(2)m2+(6+a)2=(18-r)2(3)
Az (1) és (2) egyenlet különbségéből:
m2+36-12a+a2=36+12r+r2,m2+144+24a+a2=144+24r+r2,-36a=-12r,3a=r.(4)
A (2) és (3) egyenlet különbségéből hasonlóan kapjuk, hogy
a=5r-24.(5)
(4)-ből és (5)-ből
r3=5r-24,
tehát r=3675,14 cm.
Ez azt jelenti, hogy egy nagyjából 10 cm átmérőjű befőttesüveg helyezhető még el a lábosban.
Turi Adrienn (Budaörs, Illyés Gy. Hatévf. Középisk., 9. évf.)