Kezdőlap


Feladat:	C.669	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2002/december, 527. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör geometriája, Másodfokú függvények, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/március: C.669

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körcikk kerülete $k = i + 2 r$ , ahol $i$ az ívhossz, $r$ a sugár. A körcikk területe $t = \frac{r i}{2}$ . Helyettesítsük a területképletbe $i$ -nek a kerület képletéből kifejezett értékét:

\begin{matrix} t = \frac{r i}{2} = \frac{r (k - 2 r)}{2} = - r^{2} + \frac{k}{2} r, \end{matrix}

(ahol

k

konstans). Így a terület a sugár másodfokú függvénye, amelynek a képe parabola, mégpedig ‐ mivel a négyzetes tag együtthatója negatív ‐ a parabola ,,lefele nyílik'', vagyis a függvénynek maximuma van.

A másodfokú polinomot teljes négyzetté kiegészítve leolvashatjuk a függvény maximumának helyét és a maximum értékét:

t = - {(r - \frac{k}{2})}^{2} + \frac{k^{2}}{4} .

A maximum tehát ott van, ahol a sugár a körcikk kerületének negyede, ekkor

i = 2 r

, és a körcikkhez tartozó középponti szög

α = 2 radián \approx 114, 59^{\circ}