Feladat: C.669 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/december, 527. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör geometriája, Másodfokú függvények, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/március: C.669

Adott kerületű körcikkek közül melyiknek legnagyobb a területe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körcikk kerülete k=i+2r, ahol i az ívhossz, r a sugár. A körcikk területe t=ri2. Helyettesítsük a területképletbe i-nek a kerület képletéből kifejezett értékét:

t=ri2=r(k-2r)2=-r2+k2r,
(ahol k konstans). Így a terület a sugár másodfokú függvénye, amelynek a képe parabola, mégpedig ‐ mivel a négyzetes tag együtthatója negatív ‐ a parabola ,,lefele nyílik'', vagyis a függvénynek maximuma van.
 
 

A másodfokú polinomot teljes négyzetté kiegészítve leolvashatjuk a függvény maximumának helyét és a maximum értékét: t=-(r-k2)2+k24. A maximum tehát ott van, ahol a sugár a körcikk kerületének negyede, ekkor i=2r, és a körcikkhez tartozó középponti szög α=2radián114,59.