Feladat: B.3516 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Árva Zoltán ,  Baráth Géza ,  Bereczki Péter ,  Dúró Dóra ,  Egri Attila ,  Fodor Klaudia ,  Garab Ábel ,  Gehér György ,  Grezsa Péter ,  Gyarmati Ákos ,  Halbrucker Tamás ,  Knipl Diána ,  Kocsis Tibor ,  Komjáthy Júlia ,  Kovács Gábor ,  Németh Zsolt ,  Orbán Zsolt ,  Pach Péter Pál ,  Pál Ágnes ,  Pölöskei Péter ,  Rácz Béla András ,  Rácz Judit ,  Sáfrány Dávid ,  Sándor Nóra Katalin ,  Seres Gyula ,  Sum Zsuzsanna ,  Szalai Attila ,  Szíjártó László ,  Torma Róbert ,  Zsbán Ambrus 
Füzet: 2002/október, 415 - 416. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Hossz, kerület, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/január: B.3516

A füzetlapra rajzoltunk egy 5 cm-es zárt töröttvonalat. Mutassuk meg, hogy le tudjuk takarni egy 20 Ft-os érmével (az érme átmérője nagyobb, mint 2,5 cm).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel az 5 cm-es töröttvonalon olyan A és B pontokat, amelyek felezik a kerületet. Az AB szakasz felezőpontja legyen O; megmutatjuk, hogy az O középpontú, 2,5 cm átmérőjű zárt körlemez teljesen lefedi a töröttvonalat.

 
 

Legyen a töröttvonal egy tetszőleges harmadik pontja C. Az ABC háromszög egyik súlyvonala a CO szakasz (mégpedig az a súlyvonal, amelynek talppontja AB-n van).
Felhasználjuk, hogy egy háromszögben egy súlyvonal nem lehet hosszabb a két mellette lévő oldal átlagánál. Ez egyszerűen belátható, ha a háromszöget a súlyvonal talppontjára tükrözve kapott paralelogrammát tekintjük. Ebben az egyik átló a súlyvonal kétszerese, és ez háromszöget alkot a két oldallal, tehát a kétszeres súlyvonal nem lehet hosszabb a két oldal összegénél. Ebből következik, hogy OCAC+BC2.
Az AC+BC viszont legfeljebb 2,5 cm hosszú, mivel az A és B közötti töröttvonal összhossza 2,5 cm, és két pont közti legkisebb távolság a két pontot összekötő egyenes szakasz hossza. Mivel OCAC+BC2, így OC1,25, tehát C az O középpontú 2,5 cm átmérőjű körvonalon, vagy azon belül van.
Gehér György (Szombathely, Bolyai János Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.)

 
Megjegyzés: Belátható, hogy kisebb kör már nem felel meg, mert ha e elég kicsi, akkor az e és 2,5-e cm oldalú téglalap nem fedhető le 1,25 cm-nél kisebb sugarú körrel.