Kezdőlap


Feladat:	C.662	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2002/október, 407 - 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Téglatest, Számtani közép, Mértani közép, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: C.662

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $8 cm^{3}$ térfogatú téglatest élei legyenek $a$ , $b$ és $c$ , ekkor

\begin{matrix} V = a b c = 8. \end{matrix}

Írjuk fel a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget a pozitív

a

b

c

számokra:

\begin{matrix} \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{a b c} = \sqrt[3]{8} = 2. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} a + b + c \geq 6. \end{matrix}

(1)

Az 1 cm-rel növelt élű téglatest térfogata

(a + 1) (b + 1) (c + 1) = 27.

A műveletek elvégzése után az

\begin{matrix} a b + a c + b c + a + b + c = 18 \end{matrix}

(2)

egyenlethez jutunk.
Ezután az

a b

a c

b c

számokra írjuk fel, hogy

\begin{matrix} \frac{a b + a c + b c}{3} \geq \sqrt[3]{a b \cdot a c \cdot b c} = \sqrt[3]{{(a b c)}^{2}} = 4. \end{matrix}

Innen

a b + a c + b c \geq 12

, és (1) szerint

a + b + c \geq 6

. Ebből (2) felhasználásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} 18 = a b + a c + b c + a + b + c \geq 18 \end{matrix}

Ez csak úgy lehetséges, ha mindkét előző egyenlőtlenségben egyenlőség teljesül. A számok számtani közepe pedig csak akkor egyezik meg a mértani közepükkel, ha a számok egyenlők, vagyis

a = b = c

és

a b c = 8

miatt

a = b = c = 2

, a test kocka.
Így, ha minden egyes él hosszát újra megnöveljük 1 cm-rel, akkor a térfogat

64 cm^{3}

lesz.