Feladat: C.662 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2002/október, 407 - 408. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térfogat, Téglatest, Számtani közép, Mértani közép, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: C.662

Egy téglatest térfogata 8cm3. Ha a téglatest minden élét 1 centiméterrel megnöveljük, akkor egy 27cm3 térfogatú téglatestet kapunk. Mekkora térfogatú téglatestet kapunk, ha ismét megnöveljük az éleket 1-1 centiméterrel?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 8cm3 térfogatú téglatest élei legyenek a, b és c, ekkor

V=abc=8.
Írjuk fel a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget a pozitív a, b, c számokra:
a+b+c3abc3=83=2.
Innen
a+b+c6.(1)
Az 1 cm-rel növelt élű téglatest térfogata (a+1)(b+1)(c+1)=27. A műveletek elvégzése után az
ab+ac+bc+a+b+c=18(2)
egyenlethez jutunk.
Ezután az ab, ac, bc számokra írjuk fel, hogy
ab+ac+bc3abacbc3=(abc)23=4.
Innen ab+ac+bc12, és (1) szerint a+b+c6. Ebből (2) felhasználásával kapjuk, hogy
18=ab+ac+bc+a+b+c18
Ez csak úgy lehetséges, ha mindkét előző egyenlőtlenségben egyenlőség teljesül. A számok számtani közepe pedig csak akkor egyezik meg a mértani közepükkel, ha a számok egyenlők, vagyis a=b=c és abc=8 miatt a=b=c=2, a test kocka.
Így, ha minden egyes él hosszát újra megnöveljük 1 cm-rel, akkor a térfogat 64cm3 lesz.