Feladat: C.661 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2002/október, 407. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Oszthatóság, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: C.661

Mi a feltétele annak, hogy egy 9-re és egy 7-re végződő egész szám szorzata 63-ra végződjön?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az n-jegyű 9-re végződő egész számban a 9 előtt álló (n-1) jegyű számot x-szel, a k jegyű 7-re végződő egész szám 7 előtt álló (k-1) jegyű számot pedig y-nal. Ekkor a 9-re végződő szám A=10x+9 alakú, a 7-re végződő szám B=10y+7 alakú. Kérdés, hogy a két szám szorzata mikor végződik 63-ra?
AB=(10x+9)(10y+7)=100xy+10(9y+7x)+63. Ez akkor végződik 63-ra, ha az első két tag összege 100-nak többszöröse. Az első tag osztható 100-zal, a második tag, 10(9y+7x) akkor osztható 100-zal, ha 9y+7x osztható 10-zel.
De 9y+7x=10y+(7x-y), vagyis 10 osztója kell, hogy legyen a (7x-y)-nak. Ez akkor teljesül, ha y és 7x utolsó számjegye egyenlő.
A megoldásokat az alábbi táblázatban foglalhatjuk össze:

x0123456789y071421283542495663A  utolsó két jegye09192939495969798999B  utolsó két jegye07774717875727976737