Kezdőlap


Feladat:	C.660	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2002/október, 406 - 407. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koordináta-geometria, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/február: C.660

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük el a sakktáblát egy koordinátarendszerben az ábra szerint. Az origó legyen a bal alsó négyzet középpontja, a tengelyeken pedig válasszuk egységül a sakktábla mezőjének oldalát.
Legyen $P_{1} (a; b)$ , $P_{2} (c; d)$ két tetszőlegesen választott négyzet középpontja. Ismeretes, hogy a $P_{1} P_{2}$ szakasz felezőpontjának koordinátái: $F (\frac{a + c}{2}; \frac{b + d}{2})$ . $F$ akkor lesz egy mező középpontja, ha $\frac{a + c}{2}$ , illetve $\frac{b + d}{2}$ egész, vagyis ha $a$ és $c$ , illetve $b$ és $d$ paritása megegyezik.
A középpontok koordinátái párosság szempontjából 4 csoportba oszthatók:

\begin{matrix} \begin{matrix} páros; & páros \\ páros; & páratlan \\ páratlan; & páros \\ páratlan; & páratlan. \end{matrix} \end{matrix}

Ahhoz, hogy a felezőpont koordinátái egészek legyenek, egy ponthoz csak ugyanabba a csoportba tartozó pontot választhatunk párként.
Mindegyik csoportba 16 középpont tartozik (összesen 64 középpont van), ezekből

\begin{matrix} (\binom{16}{2}) = \frac{16 \cdot 15}{2} = 120 \end{matrix}

párt képezhetünk. A 4 csoportból tehát összesen

4 \cdot 120 = 480

olyan pontpárt választhatunk ki, melyeket összekötő szakasz felezőpontja is egy mező középpontjába esik.