Feladat: C.660 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2002/október, 406 - 407. oldal  PDF file
Témakör(ök): Koordináta-geometria, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/február: C.660

Hányféleképpen lehet a 8×8-as sakktábla mezői közül két különbözőt kiválasztani úgy, hogy a középpontjukat összekötő szakasz felezőpontja is egy mező középpontjába essen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük el a sakktáblát egy koordinátarendszerben az ábra szerint. Az origó legyen a bal alsó négyzet középpontja, a tengelyeken pedig válasszuk egységül a sakktábla mezőjének oldalát.
Legyen P1(a;b), P2(c;d) két tetszőlegesen választott négyzet középpontja. Ismeretes, hogy a P1P2 szakasz felezőpontjának koordinátái: F(a+c2;b+d2). F akkor lesz egy mező középpontja, ha a+c2, illetve b+d2 egész, vagyis ha a és c, illetve b és d paritása megegyezik.
A középpontok koordinátái párosság szempontjából 4 csoportba oszthatók:

  páros;páros  páros;páratlan  páratlan;páros  páratlan;páratlan.  
Ahhoz, hogy a felezőpont koordinátái egészek legyenek, egy ponthoz csak ugyanabba a csoportba tartozó pontot választhatunk párként.
Mindegyik csoportba 16 középpont tartozik (összesen 64 középpont van), ezekből
(162)=16152=120
párt képezhetünk. A 4 csoportból tehát összesen 4120=480 olyan pontpárt választhatunk ki, melyeket összekötő szakasz felezőpontja is egy mező középpontjába esik.