Feladat: C.655 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Poronyi Balázs 
Füzet: 2002/október, 404 - 405. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, Konstruktív megoldási módszer, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/január: C.655

Barabás nagymamája egy ideje minden lottósorsoláskor félretesz perselyébe némi aprópénzt unokájának. A nagyi rendkívül precíz hölgy, és az alábbi szabályokat mindig betartja:
 
1) Csak fémpénzt tesz félre.
 
2) Egy szám kisorsolásakor a számnak megfelelő összeget teszi a perselybe, ügyelve arra, hogy a legkevesebb számú érmét használja fel.
 
3) A sorsolás végeztével mindig felírja, hogy melyik érméből mennyit dobott a perselybe.
 
Az egyik sorsolás után, ahol 7 számot sorsoltak az első 35 pozitív egész közül, nagyi azt jegyezte fel, hogy 3 db 20, 6 db 10, 5 db 5, 9 db 2 és 3 db 1 forintos érmét dobott a perselybe. Mik voltak a kisorsolt számok?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 20, 10, 5 és 1 forintosból a nagymama egyszerre csak legfeljebb egyet-egyet tehetett a perselybe, hiszen 220=40>35, a többi címlet esetében pedig két egyforma érme helyettesíthető lenne eggyel. A 2 forintosból is legfeljebb kettőt dobhatott be egy alkalommal, hiszen 2+2+2=5+1 már három helyett két érmével is előállítható. Így ‐ figyelembe véve, hogy az érmék összértéke nem lehet 35-nél több ‐ minden húzás után legfeljebb négy érme kerülhetett a perselybe. Mivel a perselybe tett érmék száma összesen 3+6+5+9+3=26 és 44+33=25<26, azért legalább öt kihúzott szám esetében került négy érme a perselybe.
A 35-nél nem nagyobb, a feladat előírásának eleget tevő négytagú összeg hat van; ezek a következők:

20+10+2+2=34;20+10+2+1=33;20+5+2+2=29;20+5+2+1=28;10+5+2+2=19;10+5+2+1=18.
A félretett 10 forintos érmék száma 6, és a négytagú összegek között négy olyan van, amiben a 10 előfordul; ezért ez a négy összeg, a 34, a 33, a 19 és a 18, biztosan a kihúzott számok között van. A 20 forintosok száma összesen 3, ezért a 20-at tartalmazó, a 10-et viszont nem tartalmazó két négytagú összeg közül legalább (illetve pontosan) az egyik biztosan kimarad.
Tegyük fel, hogy ez a kimaradó összeg a 29=20+5+2+2. A megmaradt öt összeg tagjait összeszámolva látjuk, hogy ezekben 3 db 20-as, 4 db 10-es, 3 db 5-ös, 7 db 2-es és 3 db 1-es szerepel, így marad még 2 db 10-es, 2 db 5-ös és 2 db 2-es. Ezekből azonban nem állítható össze két különböző, a feladatnak megfelelő háromtagú összeg. Tehát a 29 is szerepel a kihúzott számok között, a 28 pedig nem és fennmarad még 2 db 10-es, 2 db 5-ös valamint 1‐1 db 1-es és 2-es.
A 10-es és az 5-ös szükségképpen mindkét háromtagú összegben szerepel, az egyikbe kerül a 2-es, a másikba az 1-es, így a további két kihúzott szám a 16 és a 17.
A hét kihúzott szám tehát a következő: 34, 33, 29, 19, 18, 17, 16.
Poronyi Balázs (Pécs, Janus Pannonius Gimn., 9. o.)