Feladat: B.3514 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Sándor Ágnes 
Füzet: 2002/szeptember, 340 - 341. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszög területe, Számtani közép, Mértani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/január: B.3514

Az ABC háromszög magasságai AA1, BB1 és CC1, területe t. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög pontosan akkor szabályos, ha
AA1AB+BB1BC+CC1CA=6t.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy

AA1BC=BB1CA=CC1AB=2t.(1)
Ha a háromszög szabályos, akkor AB=BC=CA, tehát
AA1AB+BB1BC+CC1CA==AA1BC+BB1CA+CC1AB=6t,
vagyis teljesül a feladatban szereplő egyenlőség.
 
 

Megmutatjuk, hogy ha
AA1AB+BB1BC+CC1CA=6t,
akkor a háromszög szabályos. A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint
AA1AB+BB1BC+CC1CA3(AA1AB)(BB1BC)(CC1CA)3.(2)
De
(AA1AB)(BB1BC)(CC1CA)=(AA1BC)(BB1CA)(CC1AB)=(2t)3,
vagyis a (2) egyenlőtlenség
AA1AB+BB1BC+CC1CA6t
alakban is írható. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha
AA1AB=BB1BC=CC1CA=2t.
Ezt összevetve (1)-gyel, kapjuk, hogy
AA1AB=AA1BC,BB1BC=BB1CAésCC1AB=CC1CA,
amikből AB=BC=CA adódik; ez azt jelenti, hogy a háromszög szabályos.
Sándor Ágnes (Pápai Református Kollégium Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján