Kezdőlap


Feladat:	B.3513	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Márton , Torma Róbert
Füzet:	2002/szeptember, 339 - 340. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Körök, Tetraéderek, Köréírt gömb, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/január: B.3513

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a $K_{1}$ és $K_{2}$ két körvonal közös pontja $A$ és $B$ , a két középpont $O_{1}$ és $O_{2}$ . Legyen $S$ az $A B$ szakasz felező merőleges síkja. Ebben benne van $O_{1}$ és $O_{2}$ is, hiszen $O_{1} A = O_{1} B$ és $O_{2} A = O_{2} B$ ( $A, B \in K_{1}, K_{2}$ ). Az $S$ sík merőleges a körlapokra, mert merőleges egy húrjukra. Állítsunk merőleges egyeneseket a körlapokra az $O_{1}$ és az $O_{2}$ pontokban, a kapott egyeneseket jelölje $e_{1}$ és $e_{2}$ .

Ezek az egyenesek az

S

síkban vannak, mert

S

merőleges a körlapokra. Az

e_{1}

és

e_{2}

nem lehet párhuzamos, mert akkor a rájuk merőleges körlapok is párhuzamosak lennének; mivel azonban a körlapoknak van közös pontjuk (

A

és

B

), a két sík megegyezne, ami ellentmond a feladat feltételeinek. Azaz a két egyenes nem párhuzamos, tehát metsző (hiszen mindkettő az

S

síkban van); metszéspontjuk legyen

O

. Mivel

O

e_{1}

egyenesen van, tőle egyenlő távolságra vannak a

K_{1}

kör pontjai, hasonlóan a

K_{2}

kör pontjai is (

O

e_{2}

egyenesen is rajta van). Így az

O

középpontú, megfelelő sugarú gömbfelületre mindkét körvonal illeszkedik.

Horváth 424 Márton (Budapest, Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.)

II. megoldás. Jelöljünk ki mindkét körvonalon az

A

B

metszéspontoktól különböző egy-egy tetszőleges

C

és

D

pontot.

Ez a négy pont biztosan nincs egy síkban, hiszen a

D

pont rajta van a

D A B

síkon, a

C

pont a

C A B

síkon, és e két sík a feladat szerint nem esik egybe. A közös részük tehát az

A B

által meghatározott egyenes. Az

A B C D

tetraéder köréírt gömbje átmegy mind a négy csúcson, ezért a

D A B

síkkal vett metszete a

D A B

kör. Valóban, a

D A B

háromszögnek csak egy köréírt köre van, és egy gömb síkkal vett metszete minden esetben kör. Ugyanígy ezen gömbön rajta van a

C A B

kör is. Tehát az

A

B

C

D

pontok által meghatározott gömbön mindkét kör rajta van.

Torma Róbert (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn., 9. évf.)

Megjegyzés: Felhasználtuk, hogy a tetraédernek van köréírt gömbje. Ez az állítás megtalálható például a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1946. feladatában.