Feladat: B.3513 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Horváth Márton ,  Torma Róbert 
Füzet: 2002/szeptember, 339 - 340. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gömb és részei, Körök, Tetraéderek, Köréírt gömb, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/január: B.3513

Két körvonal nincs egy síkban, és pontosan két közös pontjuk van. Mutassuk meg, hogy van olyan gömbfelület, amelyre illeszkednek.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a K1 és K2 két körvonal közös pontja A és B, a két középpont O1 és O2. Legyen S az AB szakasz felező merőleges síkja. Ebben benne van O1 és O2 is, hiszen O1A=O1B és O2A=O2B (A,BK1,K2). Az S sík merőleges a körlapokra, mert merőleges egy húrjukra. Állítsunk merőleges egyeneseket a körlapokra az O1 és az O2 pontokban, a kapott egyeneseket jelölje e1 és e2.

 
 

Ezek az egyenesek az S síkban vannak, mert S merőleges a körlapokra. Az e1 és e2 nem lehet párhuzamos, mert akkor a rájuk merőleges körlapok is párhuzamosak lennének; mivel azonban a körlapoknak van közös pontjuk (A és B), a két sík megegyezne, ami ellentmond a feladat feltételeinek. Azaz a két egyenes nem párhuzamos, tehát metsző (hiszen mindkettő az S síkban van); metszéspontjuk legyen O. Mivel O az e1 egyenesen van, tőle egyenlő távolságra vannak a K1 kör pontjai, hasonlóan a K2 kör pontjai is (O az e2 egyenesen is rajta van). Így az O középpontú, megfelelő sugarú gömbfelületre mindkét körvonal illeszkedik.
Horváth 424 Márton (Budapest, Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 10. évf.)

 
II. megoldás. Jelöljünk ki mindkét körvonalon az A, B metszéspontoktól különböző egy-egy tetszőleges C és D pontot.
 
 

Ez a négy pont biztosan nincs egy síkban, hiszen a D pont rajta van a DAB síkon, a C pont a CAB síkon, és e két sík a feladat szerint nem esik egybe. A közös részük tehát az AB által meghatározott egyenes. Az ABCD tetraéder köréírt gömbje átmegy mind a négy csúcson, ezért a DAB síkkal vett metszete a DAB kör. Valóban, a DAB háromszögnek csak egy köréírt köre van, és egy gömb síkkal vett metszete minden esetben kör. Ugyanígy ezen gömbön rajta van a CAB kör is. Tehát az A, B, C, D pontok által meghatározott gömbön mindkét kör rajta van.
Torma Róbert (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn., 9. évf.)

 
Megjegyzés: Felhasználtuk, hogy a tetraédernek van köréírt gömbje. Ez az állítás megtalálható például a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1946. feladatában.