Kezdőlap


Feladat:	C.658	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2002/szeptember, 334 - 335. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Törtfüggvények, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2002/január: C.658

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván $x \neq 0, - 15, - 24$ és $y \neq 0,6,15$ és $z \neq 0$ . Továbbá $0 \neq \frac{1}{z} = \frac{x + y + 9}{(x + 15) (y - 6)}$ miatt $x + y + 9 \neq 0$ . Vezessük be az $x + 15 = u$ és $y - 6 = v$ új ismeretleneket. Ekkor a (2) és (3) egyenletek jobb oldalának egyenlőségéből:

\begin{matrix} \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{u + 9} + \frac{1}{v - 9} . \end{matrix}

Közös nevezőre hozás után az

\begin{matrix} \frac{u + v}{u v} = \frac{u + v}{(u + 9) (v - 9)} \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Az

u + v = x + y + 9 \neq 0

feltétel mellett az egyenlet mindkét oldalát osszuk el

u + v

-vel és vegyük a reciprokukat; kapjuk, hogy

\begin{matrix} u v = u v + 9 v - 9 u - 81, ahonnan v = 9 + u . \end{matrix}

Most az (1) és (2) egyenletek jobb oldalának egyenlőségét figyelembe véve felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{u - 15} + \frac{1}{v + 6} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} . \end{matrix}

Hozzunk közös nevezőre:

\begin{matrix} \frac{u + v - 9}{(u - 15) (v + 6)} = \frac{u + v}{u v} . \end{matrix}

Rendezés és a műveletek elvégzése után a

v = 9 + u

helyettesítéssel kapjuk, hogy

u^{2} + 50 u + 225 = 0.

Innen

u_{1} = - 5

v_{1} = 9 + u_{1} = 4

x_{1} = u_{1} - 15 = - 20

y_{1} = v_{1} + 6 = 10

és

z_{1} = 20

;

u_{2} = - 45

v_{2} = - 36

x_{2} = - 60

y_{2} = - 30

z_{2} = - 20

.
Valamennyi érték behelyettesíthető az egyenletekbe, és helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy a gyökök valóban kielégítik az egyenletrendszert.