Feladat: C.658 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2002/szeptember, 334 - 335. oldal  PDF file
Témakör(ök): Törtfüggvények, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2002/január: C.658

Oldjuk meg az
1x+1y=1z;1x+15+1y-6=1z;1x+24+1y-15=1z
egyenletrendszert.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyilván x0,-15,-24 és y0,6,15 és z0. Továbbá 01z=x+y+9(x+15)(y-6) miatt x+y+90. Vezessük be az x+15=u és y-6=v új ismeretleneket. Ekkor a (2) és (3) egyenletek jobb oldalának egyenlőségéből:

1u+1v=1u+9+1v-9.
Közös nevezőre hozás után az
u+vuv=u+v(u+9)(v-9)
egyenletet kapjuk. Az u+v=x+y+90 feltétel mellett az egyenlet mindkét oldalát osszuk el u+v-vel és vegyük a reciprokukat; kapjuk, hogy
uv=uv+9v-9u-81,ahonnanv=9+u.
Most az (1) és (2) egyenletek jobb oldalának egyenlőségét figyelembe véve felírhatjuk, hogy
1u-15+1v+6=1u+1v.
Hozzunk közös nevezőre:
u+v-9(u-15)(v+6)=u+vuv.
Rendezés és a műveletek elvégzése után a v=9+u helyettesítéssel kapjuk, hogy u2+50u+225=0. Innen u1=-5, v1=9+u1=4, x1=u1-15=-20, y1=v1+6=10 és z1=20; u2=-45, v2=-36, x2=-60, y2=-30, z2=-20.
Valamennyi érték behelyettesíthető az egyenletekbe, és helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy a gyökök valóban kielégítik az egyenletrendszert.