Kezdőlap


Feladat:	B.3486	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sándor Ágnes
Füzet:	2002/április, 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Ponthalmazok, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/október: B.3486

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott pontok $P_{1}, P_{2}, ..., P_{2001}$ ; az adott körnek pedig legyen $A B$ egy átmérője.

A háromszög-egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} A P_{i} + P_{i} B \geq A B \end{matrix}

minden

i = 1,2, ...,2001

esetén. Egyenlőség csak akkor van, ha

P_{i}

A B

szakasz pontja. Adjuk össze ezt a 2001 egyenlőtlenséget. Ekkor kapjuk, hogy

\begin{matrix} (A P_{1} + A P_{2} + ... + A P_{2001}) + (B P_{1} + B P_{2} + ... + B P_{2001}) \geq 2001 \cdot A B = 4002 \end{matrix}

(

A B

hossza 2 egység). Vagyis az

A

ponttól az adott pontokig mért távolságok összege és a

B

ponttól az adott pontokig mért távolságok összege nem lehet egyszerre kisebb 2001-nél, hiszen akkor összegük sem lehetne nagyobb 4002-nél.
Tehát a körvonal bármely átmérőjének legalább az egyik végpontja kielégíti a feltételt.

Sándor Ágnes (Pápai Református Kollégium Gimn., 10. évf.)