Feladat: B.3486 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Sándor Ágnes 
Füzet: 2002/április, 222. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Ponthalmazok, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/október: B.3486

Adott a síkon 2001 pont és egy egységnyi sugarú körvonal. Bizonyítsuk be, hogy található a körvonalon olyan pont, amelytől az adott pontokig mért távolságok összege legalább 2001.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott pontok P1,P2,...,P2001; az adott körnek pedig legyen AB egy átmérője.

 
 

A háromszög-egyenlőtlenség szerint
APi+PiBAB
minden i=1,2,...,2001 esetén. Egyenlőség csak akkor van, ha Pi az AB szakasz pontja. Adjuk össze ezt a 2001 egyenlőtlenséget. Ekkor kapjuk, hogy
(AP1+AP2+...+AP2001)+(BP1+BP2+...+BP2001)2001AB=4002
(AB hossza 2 egység). Vagyis az A ponttól az adott pontokig mért távolságok összege és a B ponttól az adott pontokig mért távolságok összege nem lehet egyszerre kisebb 2001-nél, hiszen akkor összegük sem lehetne nagyobb 4002-nél.
Tehát a körvonal bármely átmérőjének legalább az egyik végpontja kielégíti a feltételt.
Sándor Ágnes (Pápai Református Kollégium Gimn., 10. évf.)