Feladat:	B.3474	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ruppert László
Füzet:	2002/április, 212 - 213. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatvány számjegyei, Algebrai átalakítások, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/szeptember: B.3474

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ha a szorzást elvégezzük, akkor az egyes részletszorzatok csupa egyesből állnak. Ha ezeket összeadjuk, akkor az utolsó helyen 1 db, előtte 2 db, $\text{...}$, jobbról a 112. helyen 112 darab egyest kell összeadni. Így hátulról előrehaladva a szorzat számjegyei $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,9}$. A tizedik helyen (ahol az összeg 10) a 0 számjegy lesz, és az átvitel 1. Így a következő számjegy nem 1, hanem 2 lesz, majd innen megint egyesével növekszik. A 0 számjegy után mindig 2 következik, mivel az átvitel eggyel nő. Így minden 9-cel osztható helyiértéken 9 van, vagyis a 72. helyen is. Tehát a hátulról számított 73. számjegy 0 lesz, mivel az következik az előbbi sorozatban a 9-es után. Ruppert László (Pécs, Janus Pannonius Gimnázium, 11. o.t.)   II. megoldás. Az $\underset{112\text{db}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}1}}}{}^2$ hátulról számított hetvenharmadik számjegye megegyezik az $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\underset{73\text{db}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}1}}}+\underset{72\text{db}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}1}}}0+\underset{71\text{db}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}1}}}00+\text{...}+11\underset{71\text{db}}{\overset{}{\underbrace{000\text{...}0}}}+1\underset{72\text{db}}{\overset{}{\underbrace{000\text{...}0}}}}\end{array}$ hátulról számított hetvenharmadik számjegyével. Ezt írhatjuk a következő alakban is: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A}& {\displaystyle =\frac{{10}^{73}-1}{9}+10\cdot \frac{{10}^{72}-1}{9}+{10}^2\cdot \frac{{10}^{71}-1}{9}+\text{...}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle +{10}^{71}\cdot \frac{{10}^2-1}{9}+{10}^{72}\cdot \frac{10-1}{9}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =73\cdot \frac{{10}^{73}}{9}-\frac{1+10+\text{...}+{10}^{72}}{9}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =8\cdot {10}^{73}+\frac{{10}^{73}-1}{9}-\frac{1+10+\text{...}+{10}^{72}}{9}+\frac{1}{9}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =8\cdot {10}^{73}+\frac{8}{9}\cdot \underset{73\text{db}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}1}}}+\frac{1}{9}=8\cdot {10}^{73}+\frac{1}{9}\cdot \underset{72\text{db}}{\overset{}{\underbrace{888\text{...}8}}}9.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Mivel $\frac{1}{9}\cdot \underset{72\text{db}}{\overset{}{\underbrace{888\text{...}8}}}9$ egész szám és hetvenháromnál kevesebb számjegyből áll, $8\cdot {10}^{73}$ pedig hetvenhárom 0-ra végződik, azért az összegükben hátulról számítva a hetvenharmadik helyen 0 áll. Ezek alapján a feltett kérdésre a válaszunk: Az $\underset{112\text{db}}{\overset{}{\underbrace{111\text{...}1}}}{}^2$ hátulról számított hetvenharmadik számjegye 0.