Feladat: B.3474 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ruppert László 
Füzet: 2002/április, 212 - 213. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatvány számjegyei, Algebrai átalakítások, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/szeptember: B.3474

Határozzuk meg az (111...1112db)2 hátulról számított hetvenharmadik számjegyét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

I. megoldás. Ha a szorzást elvégezzük, akkor az egyes részletszorzatok csupa egyesből állnak. Ha ezeket összeadjuk, akkor az utolsó helyen 1 db, előtte 2 db, ..., jobbról a 112. helyen 112 darab egyest kell összeadni. Így hátulról előrehaladva a szorzat számjegyei 1,2,3,...,9. A tizedik helyen (ahol az összeg 10) a 0 számjegy lesz, és az átvitel 1. Így a következő számjegy nem 1, hanem 2 lesz, majd innen megint egyesével növekszik. A 0 számjegy után mindig 2 következik, mivel az átvitel eggyel nő. Így minden 9-cel osztható helyiértéken 9 van, vagyis a 72. helyen is. Tehát a hátulról számított 73. számjegy 0 lesz, mivel az következik az előbbi sorozatban a 9-es után.
Ruppert László (Pécs, Janus Pannonius Gimnázium, 11. o.t.)

 

II. megoldás. Az 111...1112db2 hátulról számított hetvenharmadik számjegye megegyezik az
A=111...173db+111...172db0+111...171db00+...+11000...071db+1000...072db
hátulról számított hetvenharmadik számjegyével.
Ezt írhatjuk a következő alakban is:
A=1073-19+101072-19+1021071-19+...++1071102-19+107210-19==7310739-1+10+...+10729==81073+1073-19-1+10+...+10729+19==81073+89111...173db+19=81073+19888...872db9.
Mivel 19888...872db9 egész szám és hetvenháromnál kevesebb számjegyből áll, 81073 pedig hetvenhárom 0-ra végződik, azért az összegükben hátulról számítva a hetvenharmadik helyen 0 áll.
Ezek alapján a feltett kérdésre a válaszunk: Az 111...1112db2 hátulról számított hetvenharmadik számjegye 0.