Kezdőlap


Feladat:	B.3465	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dömötör Csilla
Füzet:	2002/február, 87 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Esetvizsgálat, Körérintők, Négyzetek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/május: B.3465

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a félkör középpontját $O$ -val, sugarát $r$ -rel, az érintési pontot pedig $T$ -vel. Két esetet különböztetünk meg.

I. eset:

A E < A F

(1. ábra). Mivel

\begin{matrix} O B T ∢ = 30^{\circ} és O T B ∢ = 90^{\circ}, \end{matrix}

azért

O B = 2 O T = 2 r

, azaz

F B = O B - O F = r

1. ábra 2. ábra 3. ábra

Tudjuk továbbá, hogy

\begin{matrix} r = \frac{E F}{2} = \frac{1}{2} (A B - A E - B F) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{m}) . \end{matrix}

Ekkor tehát

\begin{matrix} \frac{1}{m} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{m}), azaz n m - m - 3 n = 0. \end{matrix}

Ezt átalakítva

(n - 1) (m - 3) = 3

adódik. Mivel

n

és

m

egészek, a 3 pedig csak négyféleképpen írható fel két egész szám szorzataként, azért csak az alábbi táblázatban szereplő értékek jöhetnek szóba:

\begin{matrix} n - 1 & 1 & 3 & - 1 & - 3 \\ m - 3 & 3 & 1 & - 3 & - 1 \\ n & 2 & 4 & 0 & - 2 \\ m & 6 & 4 & 0 & 2 \end{matrix}

Ezek közül csak az

m = 6

n = 2

és az

m = n = 4

párok esetén lesz

m

is és

n

is pozitív, ezek adják a feladat megoldását.
Ha az

A C

átló is érinti a félkört, mégpedig az

L

pontban, akkor az

A O L

háromszög egyenlő szárú és derékszögű (2. ábra), ezért

A O = r \cdot \sqrt[]{2}

. De

A O = A E + E O

és

A E = \frac{1}{n}

E O = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n} - \frac{1}{m}) = r

racionális számok,

r \cdot \sqrt[]{2}

pedig irracionális. Ezért

A C

egyik esetben sem érinti a félkört.

II. eset:

A E > A F

(3. ábra). Az előző esethez hasonló módon kapjuk, hogy

B E = r

\begin{matrix} r = \frac{E F}{2} = \frac{1}{2} (A E + B F - A B) = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m} - 1) \end{matrix}

és

B E = A B - A E = 1 - \frac{1}{n}

. Tehát

1 - \frac{1}{n} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} + \frac{1}{m} - 1)

, azaz

3 m n - 3 m - n = 0

. Ezt átalakítva

(3 m - 1) (n - 1) = 1

adódik, azaz

3 m - 1 = \pm 1

, amiből következik, hogy ebben az esetben nincs pozitív egészekből álló megoldás.
Tehát

m

és

n

kétféle értéket vehet fel: vagy

m = 6

és

n = 2

, vagy pedig

m = n = 4

. Az

A C

átló egyik esetben sem érinti a félkört.

Dömötör Csilla (Győr, Révai M. Gimn., 11. évf.)