Kezdőlap


Feladat:	B.3462	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bérczi Kristóf , Birkner Tamás
Füzet:	2002/január, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egész számok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/május: B.3462

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy egész szám pontosan akkor páros, ha az ellentettje is az; így bármilyen előjelezés esetén a tagok, és így az egész összegnek is ugyanaz a paritása, mint az $S_{n} = 1 + 2 + ... + n$ összegé. Így ha $S_{n}$ páratlan, akkor a kívánt módon a 100-at nem lehet előállítani.
Tegyük fel, hogy $S_{n}$ páros és nagyobb 100-nál; ekkor

\begin{matrix} S_{n} = 100 + 2 d, ahol d < \frac{S_{n}}{2} < S_{n} . \end{matrix}

S_{n}

értéke éppen

2 d

-vel (100-ra) csökken, ha

d

-t előállítjuk az

1,2, ..., n

számok közül néhánynak az összegeként, és az előállításban szereplő tagok előjelét választjuk negatívnak.
Azt, hogy minden

S_{n}

-nél kisebb

k

természetes szám előállítható

1,2, ..., n

közül néhánynak az összegeként, a

k

-ra vonatkozó teljes indukcióval igazolhatjuk: elegendő megmutatni azt, hogy ha

k

előállítható, akkor

k + 1

is. Ehhez elég olyan

t

tagot találni a

k

előállításában, hogy

t + 1

ne szerepeljen a tagok között; ekkor ugyanis

t

helyett

(t + 1)

-et szerepeltetve az összeg 1-gyel nő, azaz éppen

(k + 1)

-et ad. Ha nincs ilyen

t

, akkor

k = r + (r + 1) + (r + 2) + ... + n

alakú, ahol

r > 1

, tehát az 1 nem szerepel a

k

előállításában; ekkor pedig

k + 1 = 1 + (r + (r + 1) + (r + 2) + ... + n)

.
Ezzel beláttuk, hogy 100 pontosan akkor állítható elő a kívánt alakban, ha

S_{n} \geq 100

, és

S_{n}

páros. Az előbbinek a feltétele

n \geq 14

, az utóbbinak pedig az, hogy

n

vagy

n + 1

osztható legyen 4-gyel.

Bérczi Kristóf (Szeged, Ságvári E. Gimn., 10. o.t.)

II. megoldás. Csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor

n \geq 14

. Mivel

S_{14} = 105

páratlan, azért

n \geq 15

. Vegyük észre, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{15} = 1 + 2 + ... + 9 - 10 + 11 + ... + 15 & = 100, és \\ A_{16} = 1 + 2 + ... + 7 - 8 + 9 - 10 + 11 + ... + 16 & = 100. \end{matrix} \end{matrix}

Négy egymás után következő természetes szám előjelét mindig megválaszthatjuk úgy, hogy az összegük 0 legyen:

\begin{matrix} a - (a + 1) - (a + 2) + (a + 3) = 0. \end{matrix}

A_{15}

valamint

A_{16}

összegből kiindulva így az azonosság segítségével minden olyan

n

-re elő tudjuk állítani a 100-at, amely

15 + 4 k

vagy

16 + 4 k

alakú. A 15-től kezdve ezek éppen azok a számok, amelyekre

S_{n}

páros.

Birkner Tamás (Bp., Fazekas M. Gimn., 8. o.t.)