Feladat: B.3462 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bérczi Kristóf ,  Birkner Tamás 
Füzet: 2002/január, 37 - 38. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egész számok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/május: B.3462

Milyen n-ekre érhető el, hogy a ±1±2±...±n alakú összegek között szerepeljen a 100?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy egész szám pontosan akkor páros, ha az ellentettje is az; így bármilyen előjelezés esetén a tagok, és így az egész összegnek is ugyanaz a paritása, mint az Sn=1+2+...+n összegé. Így ha Sn páratlan, akkor a kívánt módon a 100-at nem lehet előállítani.
Tegyük fel, hogy Sn páros és nagyobb 100-nál; ekkor

Sn=100+2d,ahold<Sn2<Sn.
Az Sn értéke éppen 2d-vel (100-ra) csökken, ha d-t előállítjuk az 1,2,...,n számok közül néhánynak az összegeként, és az előállításban szereplő tagok előjelét választjuk negatívnak.
Azt, hogy minden Sn-nél kisebb k természetes szám előállítható 1,2,...,n közül néhánynak az összegeként, a k-ra vonatkozó teljes indukcióval igazolhatjuk: elegendő megmutatni azt, hogy ha k előállítható, akkor k+1 is. Ehhez elég olyan t tagot találni a k előállításában, hogy t+1 ne szerepeljen a tagok között; ekkor ugyanis t helyett (t+1)-et szerepeltetve az összeg 1-gyel nő, azaz éppen (k+1)-et ad. Ha nincs ilyen t, akkor k=r+(r+1)+(r+2)+...+n alakú, ahol r>1, tehát az 1 nem szerepel a k előállításában; ekkor pedig k+1=1+(r+(r+1)+(r+2)+...+n).
Ezzel beláttuk, hogy 100 pontosan akkor állítható elő a kívánt alakban, ha Sn100, és Sn páros. Az előbbinek a feltétele n14, az utóbbinak pedig az, hogy n vagy n+1 osztható legyen 4-gyel.
Bérczi Kristóf (Szeged, Ságvári E. Gimn., 10. o.t.)

 
II. megoldás. Csak azzal az esettel foglalkozunk, amikor n14. Mivel S14=105 páratlan, azért n15. Vegyük észre, hogy
A15=1+2+...+9-10+11+...+15=100,ésA16=1+2+...+7-8+9-10+11+...+16=100.
Négy egymás után következő természetes szám előjelét mindig megválaszthatjuk úgy, hogy az összegük 0 legyen:
a-(a+1)-(a+2)+(a+3)=0.
Az A15 valamint A16 összegből kiindulva így az azonosság segítségével minden olyan n-re elő tudjuk állítani a 100-at, amely 15+4k vagy 16+4k alakú. A 15-től kezdve ezek éppen azok a számok, amelyekre Sn páros.
Birkner Tamás (Bp., Fazekas M. Gimn., 8. o.t.)