Feladat: C.631 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2001/december, 529 - 530. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvények ábrázolása, Abszolútértékes függvények, Trapézok, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/május: C.631

Az y=|x-1|+|x+1| függvény grafikonja és az y=c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A függvény grafikonja három részből áll. -1 és 1 között y=2, x tengellyel párhuzamos szakasz, -1-től balra és +1-től jobbra pedig egy-egy félegyenes. Az y=c egyenes párhuzamos az x tengellyel, és mivel c>2, a két vonal egy szimmetrikus trapézt határol. A függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, így elegendő az első negyedben, x1-re vizsgálni az ábrát.

 
 

Számítsuk ki az y=c egyenes és a függvénygörbe P1 metszéspontjának koordinátáit. Mivel x1, y=2x, azaz c=2x-ből x=c2 és y=c. A P2 koordinátái -c2 és c. A trapéz rövidebbik alapja 2 egység, a hosszabbik alapja P1P2=c, a magassága pedig c-2. Így 30=c+22(c-2), ahonnan c2-4=60 és c>0 miatt c=8.