Feladat: C.633 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2001/november, 473 - 474. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tetraéderek, Háromszög területe, Háromszögek egybevágósága, Egyenletrendszerek, Térgeometriai bizonyítások, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/május: C.633, 1963/október: 1270. matematika feladat, 1963/október: 1963. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 23. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder éleit a, b, c, d, e és f-fel az 1. ábra szerint. Egy háromszög t területe, s kerülete és beírt körének r sugara között fennáll a következő összefüggés: t=rs2.
Tudjuk, hogy a tetraéder lapjainak területe és beírt köreinek sugara egyenlő. Az előző egyenlőségből következik, hogy akkor a lapok kerületei is egyenlők.
Írjuk fel a négy háromszöglap kerületének egyenlőségét. a+b+c=a+d+e; ebből következik, hogy

b+c=d+e.(1)
b+f+e=f+d+c, ebből
b+e=d+c.(2)
(1) és (2)-ből d+e-c=d+c-e, ebből pedig 2e=2c, vagyis e=c, de akkor (2)-ből b=d.
Végül a+b+c=d+f+c, és mivel b=d, innen a=f, így az előbbi egyenlőségek miatt a tetraéder élei a 2. ábra szerintiek: a, b, c, d=b, e=c, f=a, vagyis a határoló háromszögek mindegyikének az oldalai a, b és c, a lapok valóban egybevágók.