Kezdőlap


Feladat:	B.3395	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábel Dániel , Backhausz Ágnes , Bicskei László , Blastik Márta , Hamar Gergő , Hargitai Gábor , Jesch Dávid , Király Ferenc , Koltai Péter , Koreck Ferenc , Kovács Levente , Pach Péter Pál , Pacz Bence Tamás , Pogátsa Attila , Rácz Béla András , Rácz Éva , Szekeres Balázs
Füzet:	2001/április, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sokszögek szerkesztése, Középpontos tükrözés, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/október: B.3395

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $B_{i}$ -vel az $A_{i}$ pontnak az $A_{i + 1}$ pontra vonatkozó tükörképét.
Ha egy, a feladat feltételeinek eleget tevő ábrán egy tetszőleges $O$ pontból helyvektorokat indítunk az $A_{i} B_{i}$ pontokhoz és mindegyiket a megfelelő kisbetűvel jelöljük, akkor a tükrözések miatt felírhatjuk a következő egyenlőségeket:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} + b_{1} & = 2 a_{2}, \\ a_{2} + b_{2} & = 2 a_{3}, \\ a_{3} + b_{3} & = 2 a_{4}, \\ a_{4} + b_{4} & = 2 a_{5}, \\ a_{5} + b_{5} & = 2 a_{1} . \end{matrix} \end{matrix}

Szorozzuk meg a második egyenlőséget 2-vel, a harmadikat 4-gyel, a negyediket 8-cal, az ötödiket pedig 16-tal, majd adjuk össze az öt egyenlőséget, és rendezzük a kapott összefüggést. Így

\begin{matrix} 31 a_{1} = b_{1} + 2 b_{2} + 4 b_{3} + 8 b_{4} + 16 b_{5} \end{matrix}

(1)

adódik, az

a_{1}

vektor tehát (a párhuzamos szelők tétele felhasználásával) megszerkeszthető.
Ezt felhasználva, a szerkesztés menete: a

b_{i}

vektorok ismeretében (1)-et felhasználva megszerkesztjük az

a_{1}

vektort. Ezt

O

-ból felmérve megkapjuk az

A_{1}

pontot. Ezután sorban megszerkesztjük az

A_{i} B_{i}

szakaszok felezőpontját, ezek lesznek az

A_{i + 1}

pontok (

i = 1

, 2, 3, 4). Az így szerkesztett

A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}

ötszög nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek.
A feladatnak mindig egy megoldása van, azonban a kapott ötszög lehet hurkolt vagy elfajuló is.