Feladat: B.3395 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ábel Dániel ,  Backhausz Ágnes ,  Bicskei László ,  Blastik Márta ,  Hamar Gergő ,  Hargitai Gábor ,  Jesch Dávid ,  Király Ferenc ,  Koltai Péter ,  Koreck Ferenc ,  Kovács Levente ,  Pach Péter Pál ,  Pacz Bence Tamás ,  Pogátsa Attila ,  Rácz Béla András ,  Rácz Éva ,  Szekeres Balázs 
Füzet: 2001/április, 220 - 221. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sokszögek szerkesztése, Középpontos tükrözés, Vektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/október: B.3395

Szerkesszük meg az A1A2A3A4A5 ötszöget, ha adott az Ai pontnak az Ai+1 pontra vonatkozó tükörképe (i=1, ..., 5, A6:=A1).

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük Bi-vel az Ai pontnak az Ai+1 pontra vonatkozó tükörképét.
Ha egy, a feladat feltételeinek eleget tevő ábrán egy tetszőleges O pontból helyvektorokat indítunk az AiBi pontokhoz és mindegyiket a megfelelő kisbetűvel jelöljük, akkor a tükrözések miatt felírhatjuk a következő egyenlőségeket:

a1+b1=2a2,a2+b2=2a3,a3+b3=2a4,a4+b4=2a5,a5+b5=2a1.
Szorozzuk meg a második egyenlőséget 2-vel, a harmadikat 4-gyel, a negyediket 8-cal, az ötödiket pedig 16-tal, majd adjuk össze az öt egyenlőséget, és rendezzük a kapott összefüggést. Így
31a1=b1+2b2+4b3+8b4+16b5(1)
adódik, az a1 vektor tehát (a párhuzamos szelők tétele felhasználásával) megszerkeszthető.
Ezt felhasználva, a szerkesztés menete: a bi vektorok ismeretében (1)-et felhasználva megszerkesztjük az a1 vektort. Ezt O-ból felmérve megkapjuk az A1 pontot. Ezután sorban megszerkesztjük az AiBi szakaszok felezőpontját, ezek lesznek az Ai+1 pontok (i=1, 2, 3, 4). Az így szerkesztett A1A2A3A4A5 ötszög nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek.
A feladatnak mindig egy megoldása van, azonban a kapott ötszög lehet hurkolt vagy elfajuló is.