Kezdőlap


Feladat:	B.3461	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Balka Richárd , Hablicsek Márton , Hargitai Gábor , Herczegh Attila , Kármán Péter , Nagy 444 Zoltán , Pallos Péter , Somogyi Dávid , Ta Vinh Thong , Tóth János
Füzet:	2001/december, 543 - 544. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Skatulyaelv, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/április: B.3461

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A skatulyaelv szerint létezik két olyan megoldás, $(x, y)$ és $(u, v)$ , amelyre $c$ osztója a 0-tól különböző $x - u$ és $y - v$ számoknak, azaz $x - u = t c$ , $y - v = s c$ . Az $a$ nem lehet négyzetszám, hiszen a $c$ legfeljebb $| c |$ -féleképpen írható fel két négyzetszám $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ különbségeként. A B. 3449. feladat megoldásához fűzött megjegyzés szellemében tekintsük ismét a $γ = n + k \sqrt[]{a}$ alakú számokat, ahol $n$ és $k$ tetszőleges egészek, és vezessük be a

\begin{matrix} γ^{*} = n - k \sqrt[]{a}, N (γ) = γ γ^{*} = n^{2} - a k^{2} \end{matrix}

jelöléseket; könnyen belátható, hogy ekkor,

\sqrt[]{a}

irracionális lévén, ezeknek a számoknak egyértelmű a felírása, és

N (γ δ) = N (γ) N (δ)

teljesül. Esetünkben a

γ : = x + y \sqrt[]{a}

δ : = u + v \sqrt[]{a}

számokra

\begin{matrix} \begin{matrix} c^{2} = N (γ) N (δ^{*}) = N (γ δ^{*}) . \\ Itt \\ γ δ^{*} = (x + y \sqrt[]{a}) (u - v \sqrt[]{a}) = (x u - a y v) + (y u - x v) \sqrt[]{a} = \\ = (u (u + t c) - a v (v + s c)) + (u (v + s c) - v (u + t c)) \sqrt[]{a} = \\ = (u^{2} - a v^{2} + c (u t - a v s)) + c (u s - v t) \sqrt[]{a} = c ((1 + u t - a v s) + (u s - v t) \sqrt[]{a}) . \end{matrix} \end{matrix}

β : = (1 + u t - a v s) + (u s - v t) \sqrt[]{a}

jelöléssel élve így

\begin{matrix} c^{2} = N (c β) = N (c) N (β) = c^{2} N (β), \end{matrix}

tehát

N (β) = 1

. Tételezzük fel, hogy

β = 1

; az egyértelmű felírhatóság miatt ekkor

u t - a v s = 0

és

u s - v t = 0

. A két egyenlőség alapján:

u t \cdot u s = a v s \cdot v t

, ahonnan

s t \neq 0

miatt

u^{2} = a v^{2}

, ellentmondás, mivel

a

nem négyzetszám. Mivel

β \neq 1

, az

(x + y \sqrt[]{a}) β^{m}

számok (

m = 1

, 2, 3,

...

) mind különbözők, és

\begin{matrix} (x + y \sqrt[]{a}) β^{m} = x_{m} + y_{m} \sqrt[]{a} \end{matrix}

alakba írhatók, alkalmas

x_{m}

és

y_{m}

egészekkel. Ezekre pedig

\begin{matrix} N (x_{m} + y_{m} \sqrt[]{a}) = N (x + y \sqrt[]{a}) N {(β)}^{m} = c \cdot 1^{m} = c \end{matrix}

miatt

x_{m}^{2} - a y_{m}^{2} = c

teljesül.