|
Feladat: |
B.3461 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ambrus Gergely , Balka Richárd , Hablicsek Márton , Hargitai Gábor , Herczegh Attila , Kármán Péter , Nagy 444 Zoltán , Pallos Péter , Somogyi Dávid , Ta Vinh Thong , Tóth János |
Füzet: |
2001/december,
543 - 544. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú diofantikus egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Skatulyaelv, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2001/április: B.3461 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A skatulyaelv szerint létezik két olyan megoldás, és , amelyre osztója a 0-tól különböző és számoknak, azaz , . Az nem lehet négyzetszám, hiszen a legfeljebb -féleképpen írható fel két négyzetszám különbségeként. A B. 3449. feladat megoldásához fűzött megjegyzés szellemében tekintsük ismét a alakú számokat, ahol és tetszőleges egészek, és vezessük be a jelöléseket; könnyen belátható, hogy ekkor, irracionális lévén, ezeknek a számoknak egyértelmű a felírása, és teljesül. Esetünkben a , számokra | | A jelöléssel élve így | | tehát . Tételezzük fel, hogy ; az egyértelmű felírhatóság miatt ekkor és . A két egyenlőség alapján: , ahonnan miatt , ellentmondás, mivel nem négyzetszám. Mivel , az számok (, 2, 3, ) mind különbözők, és alakba írhatók, alkalmas és egészekkel. Ezekre pedig | | miatt teljesül. |
|