Kezdőlap


Feladat:	B.3427	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Babos Attila , Balka Richárd , Balogh 541 János , Blastik Márta , Fehér Gergely , Horváth 424 Márton , Kiss-Tóth Christián , Kocsis Albert Tihamér , Koltai Péter , Nagy Tamás , Pacz Bence Tamás , Pallos Péter , Pongrácz András , Puskás Anna , Rácz Béla András , Rakyta Péter , Reiss Attila , Sándor Ágnes , Simon Balázs , Somogyi Dávid , Tóth Ágnes , Vonnák Dzsamila , Zalán Péter
Füzet:	2001/december, 532 - 534. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/január: B.3427

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feladatunk megfogalmazásából következik, hogy az $A B C$ háromszög semelyik két oldala nem egyenlő. Ha ugyanis lenne két egyenlő oldala, akkor azok egymás tükörképei volnának a harmadik oldalhoz tartozó magasságvonalra nézve. Ekkor pedig az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszög nem lehetne teljes egészében az $A B C$ háromszög belsejében.

1. ábra

Jelöljük az

A B C

háromszög szögeit a szokásos módon

α

β

γ

-val. Feltehetjük, hogy

α > γ > β

teljesül. Jelöljük rendre

A'

B'

C'

-vel a

B C \cap B_{1} C_{1}

C A \cap C_{1} A_{1}

és

A B \cap A_{1} B_{1}

pontokat (1. ábra). Mivel az

A A'

B B'

és

C C'

egyenesek az

A B C

háromszög egy-egy oldalának a háromszög valamelyik magasságára vonatkozó tükörképei, azért ‐ figyelembe véve a szögek nagyságrendjét ‐ kapjuk, hogy

A B' B ∢ = B' A B ∢ = α

A C' C ∢ = C' A C ∢ = α

és

A' A C ∢ = A' C A ∢ = γ

. A

B' A C' A_{1}

négyszögben három szög

α

, ezért az

A_{1}

-nél lévő szöge

360^{\circ} - 3 α

.
Tehát

B_{1} A_{1} C_{1} ∢ = 180^{\circ} - (360^{\circ} - 3 α) = 3 α - 180^{\circ}

. Az

A' A B

háromszög

A'

-nél lévő külső szöge

γ

B

-nél lévő szöge pedig

β

, ezért az

A

-nál lévő belső szöge

A' A B ∢ = γ - β

. Így

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ∢ = A B_{1} C' ∢ = 180^{\circ} - (B_{1} A C' ∢ + A C' B_{1} ∢) = (α + β + γ) - ((γ - β) + α) = 2 β . \end{matrix}

A_{1} C_{1} B_{1}

szög pedig

180^{\circ} - ((3 α - 180^{\circ}) + 2 β) = 2 γ - α

2. ábra

Hasonlóan számolhatjuk ki az

A_{2} B_{2} C_{2}

háromszög szögeit is (2. ábra).

A A'' B ∢ = β

C C'' B ∢ = β

és

B B'' C ∢ = γ

(

A''

B''

és

C''

a tükörképek és az eredeti háromszög oldalegyeneseinek metszéspontjai), tehát

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{2} B_{2} C_{2} ∢ = B_{2} A C ∢ + B_{2} C A ∢ = (γ - β) + (α - β) = 180^{\circ} - 3 β; \\ B_{2} C_{2} A_{2} ∢ = 180^{\circ} - A'' C_{2} B ∢ = 180^{\circ} + β - 2 γ; \\ C_{2} A_{2} B_{2} ∢ = β + γ - α . \end{matrix} \end{matrix}

Mivel

α > γ > β

, azért e három szög közül a legkisebb,

β + γ - α

nem lehet

60^{\circ}

-nál nagyobb, ennek kell a háromszög

20^{\circ}

-os szögének lennie. A másik két szögről nem lehet eldönteni, hogy melyikük a

70^{\circ}

, ezért két esetet kell megkülönböztetnünk.
i)

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{2} B_{2} C_{2} ∢ & = 180^{\circ} - 3 β = 90^{\circ}, \\ B_{2} C_{2} A_{2} ∢ & = 180^{\circ} + β - 2 γ = 70^{\circ}, \\ C_{2} A_{2} B_{2} ∢ & = β + γ - α = 20^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}

Az egyenletrendszert megoldva

α = 80^{\circ}

β = 30^{\circ}

és

γ = 70^{\circ}

adódik. Ezekből kapjuk, hogy

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ∢ = 2 β = 60^{\circ}, B_{1} A_{1} C_{1} ∢ = 3 α - 180^{\circ} = 60^{\circ} és A_{1} C_{1} B_{1} ∢ = 2 γ - α = 60^{\circ} . \end{matrix}

ii)

\begin{matrix} \begin{matrix} A_{2} B_{2} C_{2} ∢ & = 180^{\circ} - 3 β = 70^{\circ}, \\ B_{2} C_{2} A_{2} ∢ & = 180^{\circ} + β - 2 γ = 90^{\circ}, \\ C_{2} A_{2} B_{2} ∢ & = β + γ - α = 20^{\circ} . \end{matrix} \end{matrix}

Ebből az egyenletrendszerből pedig

α = 80^{\circ}

β = {(\frac{110}{3})}^{\circ}

és

γ = {(\frac{190}{3})}^{\circ}

, tehát

\begin{matrix} A_{1} B_{1} C_{1} ∢ = {(\frac{220}{3})}^{\circ}, B_{1} A_{1} C_{1} ∢ = 60^{\circ} és A_{1} C_{1} B_{1} ∢ = {(\frac{140}{3})}^{\circ} . \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy mindkét eset létre is jön, ha megfelelő

A B C

háromszögből indulunk ki. Tehát az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögnek vagy minden szöge

60^{\circ}

, vagy pedig szögei

{(\frac{140}{3})}^{\circ}

60^{\circ}

és

{(\frac{220}{3})}^{\circ}

Rácz Béla András (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján