Feladat:	3399. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Horváth Szabolcs ,  Siroki László ,  Vigh Máté
Füzet:	2001/szeptember, 370 - 372. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2001/január: 3399. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Bontsuk fel a cérnahurkot gondolatban kicsiny $\Delta s$ hosszúságú darabkákra! Egy ilyen (majdnem egyenes) fonáldarabkára az 1. ábrán látható erők hatnak, és ezek hatására a fonál egyensúlyban van: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=2\alpha \Delta s=2F_f\text{sin}\beta \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\alpha$ a folyadék felületi feszültsége. Az ábráról leolvasható, hogy $\Delta s=r\cdot 2\beta \mathrm{,}$ és mivel $\beta$ kicsiny szög, $\text{sin}\beta \approx \beta \mathrm{.}$ Ezek szerint a fonalat feszítő erő $\begin{array}{c}{\displaystyle F_f=2\alpha r\frac{\beta }{\text{sin}\beta }\approx 2\alpha r=6\cdot {10}^{-4}\text{N}\mathrm{.}}\end{array}$   1. ábra  Vigh Máté (Pécs, PTE. Babits M. Gyak. Gimn., 9. o.t.) II. megoldás. A rendszer energiája (jelen esetben ez a folyadékhártya felületével arányos felületi energia) a lehető legkisebb. Ismeretes, hogy az adott kerületű síkidomok közül a körnek a legnagyobb a területe, emiatt a cérnahurok (melynek belsejéből hiányzik a hártya) kör alakú kell legyen. Tételezzük fel, hogy az egyensúlyban $r$ sugarú kör alakú cérnaszál egy kicsit megnyúlik, és emiatt a kör sugara $r\text{'}$-re módosul. A hártya felülete (mindkét oldalát figyelembe véve) összesen $2\left(r{\text{'}}^2-r^2\right)\pi$ értékkel csökken, a felületi energia változása tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E_1=-2\alpha \left(r{\text{'}}^2-r^2\right)\pi \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\alpha$ a felületi feszültség (egységnyi felületű darabka energiája). Másrészt viszont a sugár elképzelt megváltozása miatt a hurok $\ell =2\pi r$ kerülete $\Delta \ell =2\pi \left(r\text{'}-r\right)$ értékkel megnő, emiatt a megfeszített fonálban tárolt rugalmas energia is megváltozik $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta E_2=F_f\Delta \ell =F_f\cdot 2\pi \left(r\text{'}-r\right)}\end{array}$ értékkel. Ha $\Delta E_2$ kisebb lenne, mint $-\Delta E_1$, akkor az elképzelt változás ténylegesen végbemenne, és a rendszer összenergiája lecsökkenne. Ha $\Delta E_2$ nagyobb lenne, mint $-\Delta E_1$, akkor a sugár csökkenésével nyerhetnénk energiát, de a valóságban ez sem következik be, hiszen a hurok egyensúlyban van. Fenn kell álljon tehát, hogy $\Delta E_2=-\Delta E_1$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle F_f=\frac{r{\text{'}}^2-r^2}{r\text{'}-r}\alpha \approx 2\alpha r=0\mathrm{,}6\text{mN}\mathrm{.}}\end{array}$ (Kihasználtuk, hogy $r\text{'}\approx r=1\text{cm}\mathrm{.})$  Horváth Szabolcs (Sepsiszentgyörgy, Székely Mikó Koll., 11. o.t.) dolgozata alapján   III. megoldás.   2. ábra     Ha a cérnaszál egyik átmérőjéhez (képzeletben) egy súlytalan, merev pálcát rögzítenénk, a rendszer továbbra is egyensúlyban maradna. Akkor is megmaradna az egyensúly, ha a két félkör egyikét eltávolítanánk, s csak a 2. ábrán látható alakzat maradna. A rendszer, s azon belül a pálca egyensúlyban lenne, a pálcára ható eredő erő tehát nulla kellene legyen. A $2r$ hosszú egyenes pálcára a folyadékhártya két oldala összesen $4\alpha r$ erőt fejt ki, ezzel az erővel a két fonálvég által kifejtett $2F_f$ erő tart egyensúlyt: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2F_f=4\alpha r\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle F_f=2\alpha r=6\cdot {10}^{-4}\text{N}\mathrm{.}}\end{array}$  Siroki László (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 11. o.t.) Megjegyzés. Sokan azt a hibát követték el, hogy a Függvénytáblázatban található $F=2\alpha \ell$ képletben $\ell$ helyére a cérnahurok kerületét helyettesítették be. Az idézett formula csak egyenes vonaldarabra ható erő kiszámításánál alkalmazható!