Feladat: 3399. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Horváth Szabolcs ,  Siroki László ,  Vigh Máté 
Füzet: 2001/szeptember, 370 - 372. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó erő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2001/január: 3399. fizika feladat

Az ábrán látható kerethez nyújthatatlan cérnából kötött hurkot erősítünk és a keretnél fogva szappanoldatba mártjuk. Ha a hurokban levő hártyát kiszúrjuk, a hurok körré feszül ki. Mekkora erő ébred a cérnában, ha a kör sugara 1cm, az oldat felületi feszültsége 0,03N/m?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Bontsuk fel a cérnahurkot gondolatban kicsiny Δs hosszúságú darabkákra! Egy ilyen (majdnem egyenes) fonáldarabkára az 1. ábrán látható erők hatnak, és ezek hatására a fonál egyensúlyban van:
F=2αΔs=2Ffsinβ,
ahol α a folyadék felületi feszültsége. Az ábráról leolvasható, hogy Δs=r2β, és mivel β kicsiny szög, sinββ. Ezek szerint a fonalat feszítő erő
Ff=2αrβsinβ2αr=610-4N.

 
1. ábra

 Vigh Máté (Pécs, PTE. Babits M. Gyak. Gimn., 9. o.t.)

II. megoldás. A rendszer energiája (jelen esetben ez a folyadékhártya felületével arányos felületi energia) a lehető legkisebb. Ismeretes, hogy az adott kerületű síkidomok közül a körnek a legnagyobb a területe, emiatt a cérnahurok (melynek belsejéből hiányzik a hártya) kör alakú kell legyen.
Tételezzük fel, hogy az egyensúlyban r sugarú kör alakú cérnaszál egy kicsit megnyúlik, és emiatt a kör sugara r'-re módosul. A hártya felülete (mindkét oldalát figyelembe véve) összesen 2(r'2-r2)π értékkel csökken, a felületi energia változása tehát
ΔE1=-2α(r'2-r2)π,
ahol α a felületi feszültség (egységnyi felületű darabka energiája).
Másrészt viszont a sugár elképzelt megváltozása miatt a hurok =2πr kerülete Δ=2π(r'-r) értékkel megnő, emiatt a megfeszített fonálban tárolt rugalmas energia is megváltozik
ΔE2=FfΔ=Ff2π(r'-r)
értékkel.
Ha ΔE2 kisebb lenne, mint -ΔE1, akkor az elképzelt változás ténylegesen végbemenne, és a rendszer összenergiája lecsökkenne. Ha ΔE2 nagyobb lenne, mint -ΔE1, akkor a sugár csökkenésével nyerhetnénk energiát, de a valóságban ez sem következik be, hiszen a hurok egyensúlyban van. Fenn kell álljon tehát, hogy ΔE2=-ΔE1, azaz
Ff=r'2-r2r'-rα2αr=0,6mN.
(Kihasználtuk, hogy r'r=1cm.)
 Horváth Szabolcs (Sepsiszentgyörgy, Székely Mikó Koll., 11. o.t.) dolgozata alapján

 
III. megoldás.
 
2. ábra
 
 
Ha a cérnaszál egyik átmérőjéhez (képzeletben) egy súlytalan, merev pálcát rögzítenénk, a rendszer továbbra is egyensúlyban maradna. Akkor is megmaradna az egyensúly, ha a két félkör egyikét eltávolítanánk, s csak a 2. ábrán látható alakzat maradna. A rendszer, s azon belül a pálca egyensúlyban lenne, a pálcára ható eredő erő tehát nulla kellene legyen. A 2r hosszú egyenes pálcára a folyadékhártya két oldala összesen 4αr erőt fejt ki, ezzel az erővel a két fonálvég által kifejtett 2Ff erő tart egyensúlyt:
2Ff=4αr,
ahonnan
Ff=2αr=610-4N.

 Siroki László (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 11. o.t.)

Megjegyzés. Sokan azt a hibát követték el, hogy a Függvénytáblázatban található F=2α képletben helyére a cérnahurok kerületét helyettesítették be. Az idézett formula csak egyenes vonaldarabra ható erő kiszámításánál alkalmazható!