Kezdőlap


Feladat:	C.604	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kincses Lilla
Füzet:	2001/április, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Síkgeometriai számítások trigonometriával, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/november: C.604

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tükrözzük az $O$ középpontot a háromszög oldalaira: az $A C$ oldalra való tükörképe $O_{1}$ , $B C$ -re $O_{2}$ és $A B$ -re $O_{3}$ .
Mivel $A O$ felezi az $α$ szöget (a beírt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja), ebből és az $A C$ -re való tengelyes tükrözésből következik, hogy $O A O_{1} ∢ = α$ ; $A O = A O_{1}$ , az $A O O_{1}$ háromszög területe $\frac{O A^{2} sin α}{2}$ .
Az $A B$ oldalra való tükrözés miatt pedig $O A O_{3} = α$ , s mivel az $A O O_{1}$ háromszög egybevágó az $A O O_{3}$ háromszöggel, területük is megegyezik.
Hasonlóképpen az $O C O_{1}$ és az $O C O_{2}$ háromszögek is egybevágók és a területük $\frac{O C^{2} sin γ}{2}$ , valamint az $O B O_{2}$ és $O B O_{3}$ háromszögek is egybevágók és a területük $\frac{O B^{2} sin β}{2}$ .
E hat darab háromszög területe az $A B C$ háromszög kétszeres területével egyenlő, azaz

\begin{matrix} 2 t = O A^{2} sin α + O B^{2} sin β + O C^{2} sin γ, \end{matrix}

s ezt akartuk bizonyítani.

Kincses Lilla (Csongrád, Batsányi J. Gimn., 9. o.t.)