Kezdőlap


Feladat:	B.3394	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kevei Péter
Füzet:	2001/március, 159. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Nevezetes egyenlőtlenségek, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/október: B.3394

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megjegyzések. 1. A feladat megoldása megtalálható a KöMaL 2000/9. szám 540. oldalán; Csete Lajos: ,,Szimultán háromszög-egyenlőtlenségekről'' c. cikkének ez volt a kiinduló állítása.
2. A feladatra beküldött megoldások közül a legegyszerűbb az volt, amikor az

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4}) \end{matrix}

kifejezést azonos átalakításokkal

\begin{matrix} (a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (b + c - a) \end{matrix}

alakra hozták, majd belátták az eredetivel ekvivalens

(a + b - c) (a - b + c) (b + c - a) > 0

egyenlőtlenségről, hogy

a

b

c

pozitív valós számokra pontosan akkor teljesül, ha mind a három tényező pozitív; ekkor

a

b

c

-re teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, azaz belőlük háromszög szerkeszthető.

Kevei Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. o.t.)

3. A feladatot beküldők közül sokan nem vették észre, hogy a feladatban a ,,pontosan akkor'' kitétel két állítást takar:
i) ha szerkeszthető

a

b

c

-ből háromszög, akkor fennáll az (1) egyenlőtlenség, és
ii) ha fennáll az (1) egyenlőtlenség, akkor szerkeszthető

a

b

c

oldalú háromszög.
Aki nem bizonyította mindkét irányt, nem kaphatott teljes pontszámot. Sokan annyira zavarosan írtak, hogy nem volt látható, mit tételeznek fel és mit bizonyítanak: ők 0 pontot kaptak.
4. Többen nem vizsgálták meg, hogy az átalakításaik (négyzetre emelés, gyökvonás) nyomán a kapott feltétel ekvivalens-e az eredetivel, pedig ilyen típusú bizonyításokban ez elengedhetetlen.