Kezdőlap


Feladat:	Gy.3059	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dedinszky Zsófia , Lippner Gábor , Mile Veronika , Naszódi Gergely , Papp Dávid , Reviczky Ágnes , Zábrádi Gergely
Füzet:	1997/január, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Húrnégyszögek, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1996/április: Gy.3059

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $D$ és $E$ rajta vannak a $B C$ szakasz Thalész-körén, azért $C D B ∢ = C E B ∢ = 90^{\circ}$ , azaz $B E$ és $C D$ az $A B C$ háromszög magasságvonalai. A háromszög magasságpontját jelöljük $M$ -mel. Mivel $M E A ∢ = M D A ∢ = 90^{\circ}$ , és $E A D ∢ = 60^{\circ}$ , ezért $E M D ∢ = 360^{\circ} - (2 \cdot 90^{\circ} + 60^{\circ}) = 120^{\circ}$ . Tehát a $B C E D$ négyszög átlói által bezárt szög $60^{\circ}$ .
Az $A D C$ olyan derékszögű háromszög, amelynek egyik hegyesszöge $60^{\circ}$ -os, ezért ha $A C = b$ , akkor $C D = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot b$ . Hasonlóan, ha $A B = c$ , akkor $B E = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot c$ . A négyszög és a háromszög területének aránya tehát:

\begin{matrix} \frac{T_{B C E D}}{T_{A B C}} = \frac{\frac{E B \cdot C D \cdot sin 60^{\circ}}{2}}{\frac{A C \cdot A B \cdot sin 60^{\circ}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot c \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot b}{b \cdot c} = \frac{3}{4} . \end{matrix}

Mile Veronika (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)