Feladat: Gy.3059 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dedinszky Zsófia ,  Lippner Gábor ,  Mile Veronika ,  Naszódi Gergely ,  Papp Dávid ,  Reviczky Ágnes ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1997/január, 19 - 20. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Húrnégyszögek, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1996/április: Gy.3059

Az ABC hegyesszögű háromszögben BAC=60. A háromszög BC oldalára mint átmérőre szerkesztett kör az AB oldalt D-ben, az AC oldalt pedig E-ben metszi. Határozzuk meg a BDEC négyszög és az ABC háromszög területének arányát.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel D és E rajta vannak a BC szakasz Thalész-körén, azért CDB=CEB=90, azaz BE és CD az ABC háromszög magasságvonalai. A háromszög magasságpontját jelöljük M-mel. Mivel MEA=MDA=90, és EAD=60, ezért EMD=360-(290+60)=120. Tehát a BCED négyszög átlói által bezárt szög 60.
Az ADC olyan derékszögű háromszög, amelynek egyik hegyesszöge 60-os, ezért ha AC=b, akkor CD=32b. Hasonlóan, ha AB=c, akkor BE=32c. A négyszög és a háromszög területének aránya tehát:

TBCEDTABC=EBCDsin602ACABsin602=32c32bbc=34.

 Mile Veronika (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.)