Feladat:	B.3322	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andrássy Zoltán ,  Bagdi Gábor ,  Bálint Gergely ,  Bartos Imre ,  Belső Róbert ,  Besenyei Balázs ,  Birkner Tamás ,  Boróczki Lajos ,  Budai Dénes ,  Buti Tamás ,  Csóka Endre ,  Deli Lajos ,  Enyedi Gábor ,  Gáspár Orsolya ,  Hablicsek Márton ,  Horváth László ,  Kiss Zsuzsanna ,  Kovács Dóra Judit ,  Kovács Erika ,  Major Gergely ,  Nyul Balázs ,  Pilissy György ,  Pszota Zsolt ,  Rácz Béla András ,  Ruppert László ,  Sipos Szabó Eszter ,  Siroki László ,  Siska Ádám ,  Stépán József ,  Szekeres Balázs ,  Tóth Szilveszter ,  Turchányi Márton
Füzet:	2000/május, 290 - 291. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/december: B.3322

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Ha van olyan egyenes, amelyen a megadott síkok közül kettőnél több megy át, akkor a létrejövő térrészek száma 8 ‐ ha a négy sík egy egyenesen megy át ‐, vagy 12, ha a síkok egyike metszi a másik három sík közös egyenesét. Ha ilyen egyenes nincsen, akkor a síkok egyikét párhuzamosan eltolva létrejön egy újabb ‐ korlátos ‐ térrész: annak a tetraédernek a belseje, amelynek az eltolt sík és a másik három a négy lapsíkja. Ennek a tetraédernek a lapsíkjai 15 részre osztják a teret, hiszen minden csúcshoz (4), élhez (6) és laphoz (4) csatlakozik egy-egy térrész, a 15-ödik rész pedig a tetraéder belseje. Az eltolt síkot eredeti helyzetébe visszatolva ez a korlátos térrész megszűnik, a nem korlátos részek megmaradnak, így azt kapjuk, hogy a négy sík a teret legfeljebb 14 részre osztja.  Tóth Szilveszter (Tata, Eötvös J. Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy $n$ darab síkhoz egy $\left(n+1\right)$-ediket véve hogyan változik a térrészek száma. Ezt a síkot a meglévő $n$ sík egy-egy egyenesben metszi; ez az $n$ darab egyenes áthalad a síkok közös pontján (pontjain), és az $\left(n+1\right)$-edik síkot legfeljebb $2n$ részre osztja. E részek mindegyike pontosan egy új térrészt határol, így az $\left(n+1\right)$-edik sík fölvételével a térrészek száma legfeljebb $2n$-nel nő. Ez lehetséges is, ha az $n$ darab egyenes között nincsenek azonosak, a tér bármely egyenesén legfeljebb kettő halad át a megadott síkok közül. A fenti eredmény alapján kapjuk az alábbi táblázatot:   $\begin{array}{|cc|}\hline \text{ síkok száma (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math>) }\hfill & \text{ térrészek száma (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>) }\hfill \\ \text{ 1 }\hfill & \text{ 2 }\hfill \\ \text{ 2 }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></math> }\hfill \\ \text{ 3 }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mn>8</mn></math> }\hfill \\ \text{ 4 }\hfill & \text{ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>8</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><mn>3</mn><mo stretchy="false">=</mo><mn>14</mn></math> }\hfill \\ \hline\end{array}$   Ezek szerint ha négy sík egy ponton halad át, akkor legfeljebb 14 részre osztja a teret.   Megjegyzések. 1. Az első megoldás pongyolábban, de nagyon szemléletesen is elmondható: tekintsünk egy tetraédert, illetve azt a 15 részt, amelyre a lapsíkok a teret osztják. Ha ,,nagyon'' messzire távolodunk a tetraédertől, akkor az ,,ponttá zsugorodik'', a 14 darab nemkorlátos térrész viszont megmarad, így a feladat kérdésére a válasz 14.   2. Egy másik módszerrel is célhoz érhetünk. Írjunk a síkok közös pontja köré egy gömböt. Ezt a gömböt a síkok egy-egy főkörben metszik, amelyek a gömb felületét részekre osztják. Minden térrésznek pontosan egy ilyen tartomány felel meg a gömbfelületen. A kérdés tehát úgy szól, hogy 4 darab főkör hány részre osztja a gömbfelületet. Ha a gömb olyan $P$ pontjából, amelyen keresztül nem halad kör, a $P$-vel átellenes pontba húzott érintősíkra vetítjük a gömböt, akkor ismeretes, hogy a gömbfelület képe a teljes sík, a körök képe pedig kör. Így az eredeti kérdést átfogalmaztuk: legfeljebb hány részre osztja a síkot 4 körvonal. A két feladat tehát ekvivalens, az utóbbi formájában pedig jóval ismertebb.   3. A második megoldásban az $R_1=2$; $R_{n+1}=R_n+2n$ rekurziót kapjuk a létrejövő térrészek $R_n$ számára, a rekurzió megoldása: $R_n=n^2-n+2$.