|
Feladat: |
B.3322 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Andrássy Zoltán , Bagdi Gábor , Bálint Gergely , Bartos Imre , Belső Róbert , Besenyei Balázs , Birkner Tamás , Boróczki Lajos , Budai Dénes , Buti Tamás , Csóka Endre , Deli Lajos , Enyedi Gábor , Gáspár Orsolya , Hablicsek Márton , Horváth László , Kiss Zsuzsanna , Kovács Dóra Judit , Kovács Erika , Major Gergely , Nyul Balázs , Pilissy György , Pszota Zsolt , Rácz Béla András , Ruppert László , Sipos Szabó Eszter , Siroki László , Siska Ádám , Stépán József , Szekeres Balázs , Tóth Szilveszter , Turchányi Márton |
Füzet: |
2000/május,
290 - 291. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térelemek és részeik, Tetraéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/december: B.3322 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha van olyan egyenes, amelyen a megadott síkok közül kettőnél több megy át, akkor a létrejövő térrészek száma 8 ‐ ha a négy sík egy egyenesen megy át ‐, vagy 12, ha a síkok egyike metszi a másik három sík közös egyenesét. Ha ilyen egyenes nincsen, akkor a síkok egyikét párhuzamosan eltolva létrejön egy újabb ‐ korlátos ‐ térrész: annak a tetraédernek a belseje, amelynek az eltolt sík és a másik három a négy lapsíkja. Ennek a tetraédernek a lapsíkjai 15 részre osztják a teret, hiszen minden csúcshoz (4), élhez (6) és laphoz (4) csatlakozik egy-egy térrész, a 15-ödik rész pedig a tetraéder belseje. Az eltolt síkot eredeti helyzetébe visszatolva ez a korlátos térrész megszűnik, a nem korlátos részek megmaradnak, így azt kapjuk, hogy a négy sík a teret legfeljebb 14 részre osztja.
Tóth Szilveszter (Tata, Eötvös J. Gimn., 11. o.t.) |
II. megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy darab síkhoz egy -ediket véve hogyan változik a térrészek száma. Ezt a síkot a meglévő sík egy-egy egyenesben metszi; ez az darab egyenes áthalad a síkok közös pontján (pontjain), és az -edik síkot legfeljebb részre osztja. E részek mindegyike pontosan egy új térrészt határol, így az -edik sík fölvételével a térrészek száma legfeljebb -nel nő. Ez lehetséges is, ha az darab egyenes között nincsenek azonosak, a tér bármely egyenesén legfeljebb kettő halad át a megadott síkok közül. A fenti eredmény alapján kapjuk az alábbi táblázatot: Ezek szerint ha négy sík egy ponton halad át, akkor legfeljebb 14 részre osztja a teret.
Megjegyzések. 1. Az első megoldás pongyolábban, de nagyon szemléletesen is elmondható: tekintsünk egy tetraédert, illetve azt a 15 részt, amelyre a lapsíkok a teret osztják. Ha ,,nagyon'' messzire távolodunk a tetraédertől, akkor az ,,ponttá zsugorodik'', a 14 darab nemkorlátos térrész viszont megmarad, így a feladat kérdésére a válasz 14.
2. Egy másik módszerrel is célhoz érhetünk. Írjunk a síkok közös pontja köré egy gömböt. Ezt a gömböt a síkok egy-egy főkörben metszik, amelyek a gömb felületét részekre osztják. Minden térrésznek pontosan egy ilyen tartomány felel meg a gömbfelületen. A kérdés tehát úgy szól, hogy 4 darab főkör hány részre osztja a gömbfelületet. Ha a gömb olyan P pontjából, amelyen keresztül nem halad kör, a P-vel átellenes pontba húzott érintősíkra vetítjük a gömböt, akkor ismeretes, hogy a gömbfelület képe a teljes sík, a körök képe pedig kör. Így az eredeti kérdést átfogalmaztuk: legfeljebb hány részre osztja a síkot 4 körvonal. A két feladat tehát ekvivalens, az utóbbi formájában pedig jóval ismertebb.
3. A második megoldásban az R1=2; Rn+1=Rn+2n rekurziót kapjuk a létrejövő térrészek Rn számára, a rekurzió megoldása: Rn=n2-n+2.
|
|